怎么解简谐振动微分方程(简谐振动微分方程两种表现形式)

导语：微分方程：简谐振动和解的线性叠加

3.3 简谐振动；解的线性叠加

把待求函数设为x(t)，然后来看这个方程：

这就是简谐振动的微分方程。对于弹簧振子，；对于单摆，。

如果x是小球的位移，它应该是个实数，但是我们先允许它是复数，这样计算会方便一些。设，用刚才的方法得到，。ω有正负两个解，这是什么意思呢？

和确实都是方程的解，但是它们并不是通解。可以发现，如果两个函数和都是方程的解，而A和B是常量，那么也是方程的解，你可以把它 们代入方程去验证。前面说过，求导是一个线性的操作，也就是说 。

这个方程是二阶微分方程，因此通解应该有两个待定的常量。设，那么就有了两个常量，这就是通解。

但是！到现在为止我们认为x是复数，而x的物理意义是小球的位移，它应该是个实数。这样一看，A 和 B 是两个复的常量，相当于四个实的常量，需要四个实的边界条件才能确定。而我们知道简谐振动的位移可以表示为，只有和两个常量。

好在“x是实数”这一点本身就相当于两个限制条件。A和B必须是共轭的（实部相同，虚部相反），这样不管是多少，x都是实数。因此可以设，，于是我们得到了。

和需要用边界条件来确定。比如初始时位移为0，速度为，容易算出，，。

本文内容由小春整理编辑！