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比例式等积式证明的常用方法(比例式等级式的证明)

导语:初中数学:比例式和等积式的证明方法与技巧

在证明比例式或等积式时,很自然想到需要应用相似三角形,证明此类题目,我们可以依照以下思路:

(1)看是否有可以直接利用的三角形,若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;

(2)如无,则需构造平行线或相似三角形;

(3)若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个关系紧密(通常有角相等或线段成比例)的三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。

一、有可以直接利用的三角形

例1、如图,在正方形ABCD中,EAB边上一点,连接DE,交ACH点,过点DDFDE,交BC的延长线于F,连接EF交于AC于点G

(1)请写出AECF的数量关系:   

(2)若正方形ABCD的边长为4,且AE=1,求证:EG2=GHAG

二、无直接可利用的三角形时,构造平行线或相似三角形

1、构造平行线

2、等积过渡法

例3、如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.

求证:(1)△DEF∽△BDE;

(2)DG·DF=DB·EF.

3、两次相似法(不同于等比过渡法)

4、等线段代换法

例5、如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F

求证:BP2=PE·PF.

说明:对于这种平方等于乘积的形式,一般要围绕等式后项中两条不同的线段所在三角形构造相似三角形;而平方项中的线段一般可以在构造的相似三角形中找到等量相等。

例6、如图,△ABC中,AD是中线,且CD2=BEBA.求证:EDABADBD

三、题目中线段先乘积后加减

看到题目中线段先乘积后加减,说明有线段要截取。

例7、证明:在 BD 取一点 E,使∠BCE=∠ACD,即得△BEC∽△ADC,

可得: AD•BC=BE•AC,①

又∵∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,

即得AB•CD=DE•AC,②

由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC•BD

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