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圆上动点的值问题三种解法山(圆上的动点求大值)

导语:经典的圆上动点形成角度的最值问题(一)

题目:圆x²+y²=8,原点为O,圆上的点A坐标为(2,0),圆上一个动点P,求∠OPA的最大值。

这道题的解题思路一定是把θ角转化为关于某个变量的表达式,进而求得最大值。这道题虽然难度不是特别大,但是有几种解法能够大大拓展解析几何的思维,有必要把每种方法琢磨透彻。这些方法都是高中数学阶段的基本方法,在解决解析几何关于圆的问题时非常有用。

最常规最直观的方法,就是设动点P坐标,然后计算夹角,再根据表达式求最大值。P是圆上的动点,又给出了圆的方程,那么可以设动点P的坐标为

这是圆上一点坐标的常用表示方法。

根据线段夹角公式可知:

其中:

代入夹角公式可以得:

化简到这个程度,现在目标是求这个关于sintcost函数的最大值。

经过观察发现,直接求这个同时含有sintcost的函数最大值比较困难,但这个表达式又比较简单,因此可以尝试使用设目标值转化为方程的方法进行计算。

不妨设tanθ=x,于是有:

整理可得:

对于这种同时包含costsint的表达式,常用的化简方法是将其视为两角和公式的展开形式,使用两角和公式对其进行整合,形成一个角的三角函数,计算如下:

PS:这种化简方法是高中数学最常用也是最基本的化简方法,将正弦余弦的系数视为某个角度的正弦和余弦值,从而利用和差化积公式整合成一个角的三角函数。)

于是有:

两边平方可以求得:|x|≤1

取最大值时,tanθ=|x|=1,即θ=45°

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