如何构造三角形的中位线(三角形中位线结论)

导语：「初中数学」构造三角形中位线的四种常用方法

三角形的中位线具有两方面的性质，一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系.当题中给出三角形两边的中点时，可直接连出中位线;当题中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线，下面结合例题逐一说明。

方法一，连接两点构造三角形的中位线

1.如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点.

(1)求证:PM=PN;

(2)求∠MPN的度数.

【分析】(1)点M是AD的中点，点P是AC的中点，若连接DC，则MP是△ADC的中位线，则PM=DC/2，同样连接AE，则PN是△AEC的中位线，则PN=AE/2，这样证PM=PN，转化为证DC=AE，回想八年级上三角形全等的知识中，做过这样的习题，∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=DC，∴PM=PN.如图

(2)如上图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∴∠AHD=∠ABD=60°，∴∠FHG=120°，由三角形中位线定理得PM∥CD，PN∥AE，∴四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN=∠FHG=120°.

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1.(1)如图①，已知C是线段AB上一点，分別以AC，BC为边长在AB的同侧作等边△ADC和△CBE，你能证明AE与BD相等吗？为什么？

(2)如图②，当等边△CBE绕点C旋转后，上述结论是否成立？为什么？

(3)在图①中，连接CK，试证明KC平分∠AKB.

2.如图，在四边形ABCD中，H、E、F、G分别是边AD，AB，BC，CD的中点，M是AB上一点，且△ADM和△BCM都是等边三角形，试判断四边形HEFG的形状.

方法二，利用角平分线+垂直构造三角形的中位线

2.如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB=12，AC=18，求DM的长.

【分析】看到题中的条件应想到:角平分线+垂线→等腰三角形这一方法，在很多题中都会用到这一方法.延长BD交CA于N，如图，

易知∠NAD=∠BAD，∠ADN=∠ADB=90°，又AD=AD，∴△AND≌△ABD，∴DN=DB，也即D为BN的中点，同时AN=AB=12，又∵M是BC的中点，∴DM=1/2NC=1/2(AN+AC)=1/2(12+18)=15.利用上边的方法，既成功地将AB转到AN上，又得到了三角形的中位线，可谓一箭双雕.

3.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长.

【分析】，延长BD交AC于F，如图，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF，又AD=AD，∴△ADB≌△ADF，∴AF=AB=6，BD=FD，∵AC=10，∴CF=AC一AF=10一6=4，∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE=1/2CF=1/2×4=2.

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1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.

(1)求证:GH∥BC;

(2)若AB=9㎝，AC=14㎝，BC=18㎝，求GH.

2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，F为AC的中点，求证:EF∥BC.

方法三，倍长法构造三角形的中位线

4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点.求证:ME=CF/2.

【分析】要证ME=CF/2，又M是AF的中点，可考虑ME是中位线，则E也必为中点，所以倍长FE至M，使EM=FE，连接AM，则ME=AM/2，接下来只须证CF=AM，于是连接BM，可考虑△CBF≌△ABM，如图，

由于△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，∴BE=EF，则BE=EM，∴FB=BM=√2BE，易知∠FBM=∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABM，而BA=BC，∴△CBF≌△ABM，∴CF=AM，则ME=AM/2=CF/2.

方法四，已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

5.如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC

的中点，若AB=10，CD=8，求MN长度的取值范围.

【分析】题中，M，N分别是AD，BC的中点，应该有中位线，MN不是图任何一个三角形的中位线，所以换位思考，另造中位线，于是找BD的中点E，连接EM，EN，如图，

则EM=AB/2=10×1/2=5，EN=CD/2=8×1/2=4，在△EMN中，(5一4)<MN<(5+4)，即1<MN<9.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证:AN=AC/3.

【分析】已知AB=AC，AD⊥BC，则D是BC的中点，而题中要证AN=AC/3，所以取NC的中点H，连接DH，则DH是△BNC的中位线，DH∥BN，若能证明AN=NH，则AN=AC/3，而题中AP=PD，这一条件该如何用？过点H作HE∥AD交BN的延长线于E，如图，

则四边形PDHE为平行四边形，∴HE=PD=AP，∵HE∥AD，∴∠PAN=∠EHN，∠APN=∠HEN，∴△APN≌△HEN，∴AN=NH=HC，∴AN=AC/3.

【总结】当题中出现中点(或隐含中点)时，或条件(或结论)中有线段的倍分关系时，可考虑中位线定理，可考虑上面介绍的几种方法，并且要灵活运用，举一反三，提高解题能力。

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