第六章实数思维导图(第六章实数单元教学计划)

导语：第六章 实数

一、平方根

1.相关概念

（1）算数平方根：如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

（3）开平方，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

2.性质

（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）0的平方根是0；负数没有平方根。

3.平方根与算术平方根的区别与联系

（1）相同点：只有非负数才存在平方根或算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；

（2）不同点：正数的平方根有两个，互为相反数；算术平方根只有一个，是正数。

二、立方根

1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

2.表示方法：a的立方根，表示为：，读作“三次根号a”

3.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

4.性质

（1）正数的立方根是正数；

（2）负数的立方根是负数；

（3）0的立方根是0.

5.立方根与平方根的联系与区别

（1）联系

<1>都与相应的乘方运算互为逆运算。

<2>在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似。

<3>0的立方根和开方根都是它本身。

（2）区别<1>在用符号表示平方根时,根指数2可省略,而用符号表示立方根时，根指数3不能省略。

<2>只有非负数才有平方根,而任何数都有立方根。

<3>正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个。

<4>被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位;被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.

三、实数

1.概念

（1）有理数：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

（2）无理数：无限不循环小数称作无理数。

（3）有理数和无理数统称实数。

2.常见的无理数

（1）所有开方开不尽的方根。

（2）化简后含有π的数。

（3）无限不循环小数。

3.实数的分类

（1）定义分类

实数:

<1>有理数：正有理数；0；负有理数。

<2>无理数：正无理数；负无理数。

（2）正负分类

实数：

<1>正实数：正有理数；正无理数。

<2>0

<3>负实数：负有理数；负无理数。

4.实数与数轴的关系

实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

5.实数的性质

（1）数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。

(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a表示一个实数,则

<1>|a|=a，当a>0时；

<2>|a|=0，当a=0时；

<3>|a|=-a，当a<0时；

6.非负数性质的应用

(1)常见的非负数的三种形式

①任意实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0.

②任意实数a的平方是非负数,即≥0(≥0,n为正整数).

③任意非负数a的算术平方根是非负数，即√a≥0.

(2)非负数的性质

①若两个非负数的和为0,那么这两个数一定都为0.

②非负数有最小值,最小值是 0.

③有限个非负数之和仍然是非负数.

7.实数的运算:先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减，如果有括号,先算括号里面的.

8.实数大小的比较

(1)把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小;对于符号相同的两个根式,利用乘方法来比较大小.

(2)作差法比较:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b.

(3)对于符号相同的两个根式,还可利用取倒数法来比较大小，即若>>0,则a<b;若<<0，a>b.

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