人大附一道期末考试题的解答题(人大附一道期末考试题的解答是什么)

导语：人大附一道期末考试题的解答

已知抛物线C:y^2=2px(x>0),AB是C的一条弦，|AB|=a>p,

（1）当AB是焦点弦时，求证：AB的横坐标x1、x2使x1、p/2、x2成等比数列；

（2）当AB不是焦点弦时，设AB与x轴交点的横坐标为x3,又AB的横坐标为x1、x2,求证：x1、x2、x3成等比数列；

（3）当弦AB的中点M距y轴最近时，求证：AB必是焦点弦。

如图所示,抛物线y2=2px的焦点为F,设AF=x,BF=y,∠AFB=θ,则由余弦定理,有

a^2=x^2+y^2-2xycosθ,

此即

a^2=(x+y)^2-2xy(1+cosθ), ①

设MN=d,由梯形中位线长及抛物线定义,可见

d=(x+y-p)/2 ,即x+y=2d+p, ②

把②代入①得

(2d+p)^2-a^2=2xy(1+cosθ)≥0,

,取等号,当且仅当cosθ=-1,即A、B、F三点共线.

这时d≥(a-p)/2 .

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