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求多面体体积的技巧(高中多面体面积和体积公式)

导语:一道高中立体几何题-求多面体的体积

一道高中立体几何题-求多面体的体积

在图中, ABCD和PNCD都是边长为2的正方形, PNCD垂直于ABCD, 点M与AB在PBCD的同侧, 且有三角形PMN平行于ABCD, PMN=90, 且PM=MN, 求多面体ABCDPMN的体积。

解:多面体ABCDPMN显然是由两个多面体组合而成,一个是PAD-NBC组成的三棱柱,另一个是由点M和底面PABN形成的M-PABN所组成的椎体。

对于第一个多面体由于是三棱柱,其底面面积为2x2/2=2, 而棱柱的高为2, 所以有体积

V1=Sh=2x2=4,

下面求第二个多面体棱锥的体积,这个棱锥的底面为PABN, 其两个边可以求出为:

PN=2, BN=2√2

所以底面PABN的面积=2x2√2=4√2

下面求棱锥的高

如图做MT垂直于PN,

在直角三角形MPN中斜边的高MT=1, 这点可以通过下图求出,

根据下图做MT垂直PN, TR垂直DC,取S是AB的中点,

因为三角形NCB全等于三角形TRS,所以∠CNB=∠RTS=45°但∠MTR=90°

所以∠MTS=90°-45°=45°

单独把三角形MST画出:

根据上图可以求出四棱锥的高h=(√2)/2

因此四棱锥的体积V2=Sh/3=4√2x(√2)/2x1/3=4/3

所以组合多面体的体积V=V1+V2=4+4/3=16/3

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