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三点共线与三线共点的证明方法一样吗(三点共线和三线共点的证明方法)

导语:三点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法

一、三点共线的常用证明方法

(一)利用平角180°

例1 如图,点D是等腰直角三角形ABC内一点.将△ADC绕点C顺时针旋转90°得到△BEC,点D的对应点为点E.

(1)如果ADCDBD=1:2:3,求证:ADE三点共线;

(2)如果ADE三点共线,ADCDBD满足什么样的关系?

解析:(1)连接DE,欲证ADE三点共线,只需要证明∠ADE=180°,即证∠ADC+∠CDE=180°.

由旋转,可知:CD=CE,∠DCE=90°,AD=BE,∠ADC=BEC

所以△CDE是等腰直角三角形,

所以∠CDE=∠CED=45°,

因为ADCDBD=1:2:3,

所以可设AD=BE=aCD=2aBD=3a

DE=2√2a

所以BE2+DE2=a2+8a2=9a2=BD2,

所以∠BED=90°,

所以∠CEB=135°=∠ADC

所以∠ADE=135°+45°=180°,

所以ADE三点共线;

(2)逆着(1)的思路可知:如果ADE三点共线,ADCDBD满足的关系是:AD2+2CD2=BD2.

(二)利用平行公理

例2 如图,等边△ABC中,DAB边上一点(点D不与点AB重合),连接CD,将CD平移到BE(其中点BC对应),将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF,求证:DFE三点共线.

解析:连接DEDF,欲证DFE三点共线,只需要证明DEDF平行于同一条直线即可.

由平移可得:BE平行且等于CD

所以四边形BCDE是平行四边形,

所以DE//BC

由旋转,得:BF=BD,∠DBF=∠DBC=60°,

所以△BDF是等边三角形,

所以∠BDF=60°=∠DBC

所以DF//BC

由平行公理可知DEDF是同一条直线,

所以DFE三点共线.

二、三线共点的常用证明方法

(一)转化为三点共线的证明

例3 如图,菱形ABCD中,∠B=60°,PBC延长线上一点,连接AP.点M是线段AP上的点,满足∠AMC=120°,求证:直线ABCMPD相交于同一点.

解析:首先设ABCM相交于点O,连接OD,则欲证直线ABCMPD相交于同一点,只需要证明ODP三点共线即可.

因为四边形ABCD是菱形,∠B=60°,

所以△ABC和△ACD都是等边三角形,

所以∠CAD=60°,

即∠CAM+∠MAD=60°,

因为∠AMC=120°,

所以∠CAO+∠ACO=60°,

所以∠MAD=∠ACO

又因为AD//BP

所以∠MAD=∠APC

所以∠ACO=∠APC

又∠OAC=∠ACP=120°,

所以△ACO∽△CPA

所以ACCP=AOAC

因为AC=CD=AD

所以CDCP=AOAD

因为∠OAD=∠DCP=60°,

所以△OAD∽△DCP

所以∠ODA=∠DPC

所以∠ODP=∠ODA+∠ADC+∠CDP

=∠DPC+∠DCP+∠CDP

=180°,

所以ODP三点共线,

所以直线ABCMPD相交于同一点O.

(二)利用同一法则

例4 如图,矩形ABCD中,EBC上的动点,延长EBF,使BF=BEGAD的中点,求证:直线AEBGDF三线共点.

解析:设AEDF相交于点O,连接BO并延长交ADH,则欲证直线AEBGDF三线共点,只需要证明BGBH是同一条直线,即证点HAD的中点即可.

因为AD//BC

所以△OAH∽△OBE

所以AHBE=OHOB

同理,DHBF=OHOB

所以AHBE=DHBF

因为BE=BF,所以AH=DH

所以HAD的中点,

因为GAD的中点,

所以BHBG是同一条直线,

所以直线AEBGDF三线共点.

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