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勾股定理应用中蕴含的数学思想是什么(勾股定理应用中蕴含的数学思想)

导语:勾股定理应用中蕴含的数学思想

勾股定理是初中数学中的一个重要应理,它是沟通几何与代数的桥梁,也是反映自然界基本规律的一条结论.在运用勾股定理解题时,若能正确把握数学思想,则会开阔解题思路,优化解题过程,同时也能加深对数学概念、公式、定理的理解.下面举例说明勾股定理应用中蕴含的数学思想,以作参考.

一、方程思想

方程思想是指运用适当的数学语言,从问题的数量关系出发,通过设未知数,将问题中的条件转化为数学模型——方程(组),然后运用相应的知识来求解问题的一种数学思想.

例1 如图1,矩形ABCD中,BC=3,且BC>AB,E为AB边上任意一点(不与A,B重合).设BE=t,将⊿BCE沿CE对折,得到⊿FCE,延长EF交CD的延长线于点G,则tan∠CGE= .(用含t的代数式表示)

评注:本题主要考查矩形的性质,轴对称变换的性质,正切的定义及勾股定理.其中,运用勾股定理构建方程,把已知量与未知量建立关系是解题的关键;同时也体现了运用方程思想解题的简便快捷.

二、转化思想

转化思想又叫化归思想,就是指将需要解决的问题由难化易,由繁化简,从而实现化未知为已知的数学思想.

例2 将两块三角板如图2放置.其中∠C=∠EDB=90°,∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积.

评注:本题中四边形DBCF的面积很难直接求得,将其转化为⊿ABC与⊿ADF的面积差是解决问题的关键.由此可见,转化策略是数学解题中一种常用的思想方法,可以说,数学解题的过程实际就是问题转化的过程.

三、数形结合思想

数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化的一种数学思想.

评注:本题结合勾股定理,通过构造几何图形,再利用图形中边与边的关系求出了最小值,充分体现了数形结合思想的优越性.其实勾股定理本身就是数形结合的定理,它的验证和应用都体现了数形结合的思想.

四、分类讨论思想

分类讨论思想是指,当一个数学问题所给的对象不能进行统一研究,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类结论,最后综合各类结果得到整个问题解答的数学思想.

例4 在⊿ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图4,根据勾股定理,则a²+b²=c²

.若⊿ABC不是直角三角形,如图5和图6,请你类比勾股定理,试猜想a²+b²与c²的关系,并证明你的结论.

评注:本题通过类比勾股定理,分两种情况对a²+b²与c²的大小关系作出判断,体现了分类讨论的解题思想.数学里的许多问题,在解答过程中只有用分类讨论的思想,才能保证解答完整准确,做到“不漏不重”.

五、整体代换思想

整体思想就是指在研究和解决数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从整体上认识问题、思考问题,从而对问题进行整体处理的思想方法.

例5 如图7,在RT⊿ABC中,∠BAC=90°,M,N是斜边BC的三等分点,已知AM=4,AN=3,则BC= .

评注:本题中AC和AB的长无法直接求出,于是把AC²+AB²看作一个整体进行求值,其它问题便迎刃而解.可以看出,运用整体思想解题能使复杂问题简单化,难度大大降低,起到一举解决问题的作用.

总之,数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐形成的,它是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁,同时也是对数学内容的一种本质认识.在运用勾股定理解决问题的过程中,如果能抓住思想方法,就抓住了问题的本质.

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