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数学刷题(数学刷题真的能让成绩变好吗)

导语:数学刷题刷对了题,就像开了挂,成绩好又学得轻松

正方形既是一种特殊的平行四边形,又是一种特殊的矩形,也是一种特殊的菱形,“特殊性”如此强的图形,自然是数学学习的重点和考试的热点。以正方形为载体的中考题,往往以基础知识、基本技能、基本数学思想和基本数学活动经验为依托,考查考生运用基础知识分析、解决问题的能力。

要想准确解决正方形有关的题型,应灵活利用以下这些基本性质:

正方形的对边平行,四条边都相等;

正方形的四个角都是直角;

正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角且是正方形的对称轴。

正方形有关的综合题型历来都是中考数学的热点题型,倍受中考命题老师的青睐。在全国各地的中考数学试卷中,正方形有关的中考试题,其立意新颖,融合了几何与代数于一体,蕴含数形结合思想方法,有较强的综合性。

就像这道中考试题,就是一道综合性较强的试题,一起来看看。

(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;

(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.

考点分析:

正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。

题干分析:

(1)由四边形是ABCD正方形,易证得△CBE≌△CDF(SAS),即可得CE=CF。

(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知△CBE≌△CDF,易证得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可证得△ECG≌△FCG,从而可得GE=BE+GD。

(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt△AED中,由勾股定理DE²=AD²+AE²,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。

正方形是最特殊的四边形,它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。因此,与正方形有关的问题一直是中考命题的热点,其题型有选择题、填空题、解答题和操作题等。

近年来中考数学对正方形的考查成为平面几何的热点,而正方形中“一线三直角”模型应用非常广泛。首先要讲清模型的条件与本质,再通过变式训练,学会在复杂背景下识别并灵活地应用模型,从而很好地培养学生思维的概括性和灵活性,最终提高学生的数学成绩和数学素养。

如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且AE⊥EF,BE=2

(1)求EC:CF值;

(2)延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P(图2),试判断AE与EP大小关系,并说明理由;

(3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由。

考点分析:

相似三角形的判定和性质,正方形的性质,外角平分线定义,全等三角形的判定和性质,平行的判定,平行四边形的判定。

题干分析:

(1)由正方形的性质可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:∠BAE=∠CEF,即可证得:△ABE∽△EFC,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得EC:CF的值.

(2)作辅助线:在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,利用ASA,易证得:△AME≌△PCE,则可证得:AE=EP。

(3)过点D作DM⊥AE交AB于点M,此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由△BAE≌△ADM(ASA)得AD=DM;另一方面由DM⊥AE,AE⊥EF得DM∥ EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。

正方形是最特殊的四边形,故一个四边形要成为正方形,限制条件也最多。这就导致正方形有关的试题综合性较强,解法灵活,这就要求我们在答题时要认真审题,写好步骤,明确已具备了什么条件,弄清还缺少哪些条件。

另外,还要注意一点,纵观近年来各地的中考数学试题,可看出折叠问题很受命题者的青睐,已成为热点题型之一。解答此类问题,要掌握正方形等特殊四边形的性质,明确对折前后的两部分是关于折痕所在的直线对称的,很可能需要运用方程思想利用勾股定理等建立方程或方程组,才能解决问题。

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