初中二次函数解决问题(初中数学二次函数解题技巧难点分析)

导语：「初中数学」二次函数问题的处理策略

二次函数问题的处理策略

☑ 抓住核心特征：对称性。

☑ 方程和不等式结合函数图象。

☑ 式与式转化，式与图的转化。

01对称求值

1.二次函数y=ax^2+bx+c的部分对应值如下表:

则函数的最小值为 ，a-b+c= 。

分析：x=-1时y=a-b+c，(-3, 7)与(5, 7)是对称点，对称轴为直线x=1，最小值为9，如下表，x=-1与x=3对称，所以a-b+c=-5。

2.抛物线y=mx^2+2mx+n（m、n为常数，m>0）上有三点A(-4, a)、B(-2, b)、C(2, c)，则a、b、c的大小关系是 。

分析：对称轴为x=-1，开口向上，则点离对称轴越远函数值越大，所以a=c>b。

02式用图解

3.抛物线y=ax^2+bx+c如下图所示，则关于x的不等式ax^2+bx+c-2>0的解集为 。

分析：ax^2+bx+c-2>0化为ax^2+bx+c>2，即抛物线在直线y=2的上方的部分，观察可知x<-6或x>0。

4.二次函数y=ax^2+bx+c中的x与y的部分对应值如表:

根据以上信息判断当x满足 时，ax^2+(b-1)x+c>0。

分析：ax^2+(b-1)x+c>0转化为ax^2+bx+c>x，即抛物线在直线y=x上方的部分，表中的点(-1, -1)、(3, 3)恰是抛物线与直线y=x的交点，如下图，观察可知当-1<x<3时，ax^2+bx+c>x。

5.二次函数y=-x^2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x^2+mx-t=0在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是 。

分析：-x^2+mx-t=0转化为-x^2+mx=t，即抛物线与直线y=t在1<x<5段有交点，如下图，先求区间内y值的范围是-5<y≤4，观察可知t的范围即为-5<t≤4。

03灵活运用

6.某同学在用描点法画二次函数y=ax^2+bx+c图象时，列出了的表格如图所示，由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是 。

分析：不用计算函数关系式也可判断。-11与-5是对称点纵坐标应相等，必有1个是错的。观察后三组数据x值0、1、2增幅相等，y值1、-2、-5增幅也相等，这是直线的特征（一次函数的特征是函数值均匀增加），三点共线，因此-5是错的。

7.如图，抛物线y=-2x^2+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将向右平移得C2,与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 。

分析：要有3个交点，直线y=x+m应在下图绿色区域内平移，上限是直线y=x+m与抛物线相切（只有一个交点）可由Δ=0求得m；下限是直线y=x+m经过B点，坐标代入即可求m。

8.如图是二次函数y=(x+m)^2+k的图象，其顶点坐标为M(1, -4)。

(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

(2)设AM与y轴交于点C，求ΔBCM的面积；

(3)在图中的抛物线上是否还存在点P，使得SΔPMB=SΔBCM? 如果不存在，说明理由；如存在，请直接写出P点的坐标。

分析：第（3）问中点P在两条到直线BM等距的直线上，转化为求到直线BM距离等于C到BM距离的两条定直线与抛物线的交点。如下图，求直线 a、b与抛物线的交点即可（直线b与抛物线无交点）。

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