什么是代数数和超越数(实数分为代数数和超越数)

导语：代数数和超越数

把数分类为实数和复数，再把实数分类成有理数和无理数，这是常见的关于数的分类。数学家们努力探索对于数的认知，由此又提出新的分类法则。上过初中的人都知道一次方程和二次方程的解法，事实上，三次方程和四次方程同样可以通过公式来求解，只是公式相对复杂些。数学家们在研究高次方程时，提出了把数分为代数数和超越数的方法。

我们把形如称为n次方程，根据代数基本定理：n次方程有n个根（含复数根）。如果，那么方程的根即称做代数数（包含实数和复数），依此再把实数分类为代数数和超越数，即实数如果不是代数数，那么就是超越数。

根据代数数的定义，我们很容易知道所有的有理数都是代数数，只需要构造一次方程即可得知，令，满足有理数的定义，因此，有理数都是代数数。无理数有没有代数数呢？答案也很显然，肯定有的，构造方程如，则,而这个根式很容易产生无理数，因此，无理数也有代数数。

数学家们是怎么知道超越数的存在呢？其实超越数是很难得到的，最早猜到超越数存在的是大数学家欧拉（1707-1783，清朝康熙46年-乾隆48年），最早构造出超越数的是法国数学家刘维尔（1809-1882，清朝嘉庆14年-光绪8年），他证明了下述形式的任何一个数都是超越数：

随后，德国数学家林德曼（1852-1939，清朝咸丰2年-1939）证明了圆周率为超越数。在康托尔之前，人们知道的超越数是非常少的。康托尔（1845-1918，清朝道光25年-1918）在研究无穷论时，证明了代数数的集合是可数的，也就是可以用1，2，3，...，把所有的代数数排列对应起来，同时又证明了实数是不可数的，因此，超越数也是不可数，说得直白点就是超越数的数量远远超过代数数的数量。

迄今为止，人们对于超越数的认知仍然有限，埃贝尔说：“点辍在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉如夜空则由超越数构成。”

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