直线的方程有几种如何表示(直线的方程教案)

直线的方程

确定一条直线，有好几种思路，每一种思路都可以得到一种直线方程。

1、两点确定一条直线。

若已知直线上的两点

，求直线PQ的方程

解：设直线上的任意一点M的坐标为

则

这就是直线的两点式方程。直线的方程有点怪怪的，它是一个连等的方程。

2、一点和直线的方向确定一条直线

若已知直线上一点

及直线的方向向量

，求直线的方程

解：设直线上的任意一点M的坐标为

则

这就是直线的参数方程，其中λ为参数。

3、空间直线可以看成两个平面的交线

若平面

，则

平面α，β的交线l的方程为

这就是直线的一般方程。

如图平面解析几何一样，直线的几种方程各有各的特色和优缺点，随机应变是一个数学人最基本的训练。哈哈

空间直线方程有一些很显然又很有趣的结论。如

一条直线可以有无数种一般方程，且这些方程看上去可能毫无关联。

直线的一般方程可以表示任何一条直线，但直线的几何性质却非常不容易看出来。

而标准方程和参数方程虽然有些使用上的限制，却很容易一眼看出直线经过的定点，直线的方向等信息。

例1、求经过点M(1,-5,3)且与x,y,z轴正方向成60°，45°，120°的直线。

解：设直线的方向向量为(X,Y,Z)，且

则

所以直线方程

即

例2、求过点M(1,0,-2)且与直线

都垂直的直线。

解：两直线的方向向量分别为(1,1,-1),(1,-1,0)

设所求直线的方向向量为(X,Y,Z)则

所以方向向量为(1,1,2)

所求直线为

例3、求过点M(2,-3,-5)且与平面6x-3y-5z+2=0垂直的直线

解：平面的法向量就是平面的方向向量，即(6,-3,-5)

所以直线方程为

例4、求直线

上且与原点距离为25的点。

解：设所求的点为(x,y,z)则

所以

解得

所求点

例5、求点P(2,0,-1)关于直线

对称点的坐标

解：设直线的方向向量为(X,Y,Z)则

直线的方向向量为(2,-2,1)

取直线上的点(-5,7,0)，得直线方程

设点P对称点Q，PQ与直线交于点M(-6+2t,7-2t,t)则

痛苦的回忆猛然间蹦到了我眼前，在平面解析几何中折磨我的“求点关于直线对称点”问题，又一次重重锤在我胸口。唉，阴魂不散啊，我突然有了不详的预感。。。。。要是高考把这些内容放出来考，可是算得上“不超过考纲但不拘泥于考纲”的新题了。

细思极恐，极恐，恐……

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