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无穷大到底有多大(无穷大是多少)

导语:无穷大到底有多大?

无穷无尽的太空

古希腊哲学家芝诺在公元前五世纪提出了阿基里斯悖论:

让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他1米……

这是人类思考和探索无穷概念的努力,而且这种努力也一直存在于数学之中。

在数学里,提起无穷的概念,我想大家都有些印象,尤其是在学习极限与微积分的知识之后。无穷概念对于学习和理解现代数学十分重要,然而对于无穷这个概念为什么会被引进到数学中,却很少人知道。本文就带大家一起回顾一下无穷概念的起源。

对于自然数,很早就被人类发明出来,知道这个序列可以不断往后数。给定一个自然数,我们总能找到一个比它还大的自然数。那么是否存在最大的自然数呢?由于数学源于现实世界,是对现实世界的数量的抽象,所以人们其实想知道的是在现实世界中是否存在最大数量的物体。

人们不断寻找大数,在古代有人认为全国的麦粒数量就是一个很大的数,可能也是物理世界中的最大数。不过后来有人提出,整个地球的沙粒才是最大的数。再后来越来越大的数在物理世界中被发现,比如宇宙的星球数量、细胞的数量、原子的数量等等。到今天为止,我们也无法知道物理世界中存在的最大数是什么,或者说是否存在最大的数。对于我们认为不可数或许无法数的物体数量,就简单归结为无限多或无穷大。

然而数学并不关心现实物理世界中的最大数是什么,只在乎在数学抽象世界中的逻辑。在计数系统发明之后,尤其是阿拉伯数字的出现之后,对于书写大数不能存在任何问题,比如,对于一个拥有101位数字的大数,利用科学计数法,我们可以很方便地近似记为一个0到10之间的小数乘以10的10次方。然而在逻辑方面却遇到一些问题:因为谁都无法证明存在或不存在无穷大的数。

我们知道,在自然数出现之后,随后出现了整数、小数/分数、无理数以及实数,实数之后又出现了对应的虚数。众所周知,诸如整数、小数/分数、无理数以及实数等等都是有无穷多个,从直觉上,应该是整数比自然数多,分数比整数多,实数比分数多。然而事实上果真如此吗?这就引出了数的一个核心逻辑问题,如何证明实数的个数要比自然数多呢?

在当时已有的数学公理与定理无法解决这个问题,数学遇到一个逻辑完备性的困境。面对这个逻辑的窟窿,德国数学家康托尔于十九世纪末创立了集合论,重新奠定了数的基础,让人们以新的方式看待和理解无穷的概念。康托尔提出一个基本问题:能否将自然数集合与实数集合一一对应起来?如果能,那么实数与自然数个数是相等的,而且是可数的。

康托尔证明了不存在这种一一对应,同时也证明了实数的不可数。他的结论有四点:

一切代数数是可数的;任何有限线段上的实数是不可数的;超越数是不可数的;一切无穷集并非都是可数的,无穷集同有穷集一样也有数量(基数)上的区别。

尤其在第四点中,明确表明虽然自然数与实数都存在无穷多个,但存在数量上的区别,可以比较它们的大小。同时康托尔确实也证明了自然数的个数要远小于实数,这点与我们的直觉是相符的。

自从集合论产生之后,人们对无穷的概念有了全新的认识,也明确了有限、无限、可数与不可数之间的关系。虽然康托尔提出的集合论并非十分完备,但奠定了整个集合论的基础。后面许多数学家基于这个基础,继续完善和深化集合论,并公理化了集合论,让其更加接近逻辑的完备性。

正如大卫·希尔伯特在他的1926年《论无穷》的讲演中所说的那样:“没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感,很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思想,然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明”。

所以对于数学的无穷概念,我们应该从集合的角度,而不是去凭直觉简单地去想象一个无穷大或无穷小的数,因为根本不存在这样的数。

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