等腰三角形中作辅助线的八种常用方法(等腰三角形辅助线)

导语：老教师帮你总结，等腰三角形中作辅助线的六种常用方法

方法一：等腰三角形有底边中点时，常作底边上的中线。

例：如图在△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，D为BC中点。E，F分别是AB，CA延长线上的点，且BE=AF，求证△DEF为等腰直角三角形。

证明：连接AD。

∵∠BAC=90º，AB=AC，D是BC的中点。

∴∠ADB=90º，

∠ABD=（180º—90º）÷2=45º，

∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2=90º÷2=45º

∴∠ABD=∠BAD

∴AD＝BD

∵∠CAD＋∠FAD＝180º

∠ABD＋∠EBD＝180º

∴∠FAD＝∠EBD，

∵BE＝AF

∴△AFD≌△BED

∴DF＝DE ∠ADF＝∠EDB

∵∠ADF＋∠FDB＝∠ADB＝90º

∴∠EDB＋∠FDB＝∠EDF＝90º

∴△EDF是等腰直角三角形。

方法二：等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高。

例：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证∠BAC＝2∠DBC

证明：过点A作AE丄BC于点E

∵AB＝AC

∴∠BAC＝2∠CAE

∵BD丄AC

∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90

∴∠CAE＝∠DBC

∴∠BAC＝2∠DBC

方法三：等腰三角形中证明与腰有关联的线段之间的关系，常做腰的平行线。

如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF，求证DE＝DF。

证明：过点E作EG∥AC，交BC于点G

∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB

∵AB＝AC

∴∠ACB＝∠B

∴∠B＝∠EGB

∴BE＝EG

∵BE＝CF

∴EG＝CF

∵∠EDG＝∠CDF，∠DEG＝∠F

∴△EDG旦△FCD

∴DE＝DF。

方法四：等腰三角形中证明与底有关联的线段之间的关系，时常作底的平行线。

例：如图，已知等边△ABC，在AB边上任取一点D，延长BC到E，使CE＝AD，连接DE交AC于点P，求证DP＝PE。

证明：过点D作DF∥BE，交AC于点F

∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠ACB，

∠FDP＝∠E

∵△ABC为等边三角形

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60

∴∠ADF＝∠AFD＝∠A＝60

∴△ADF为等边三角形

∴AD＝DF

∵AD＝CE

∴DF＝CE

∵∠DPF＝∠EPC，∠FDP＝∠E

∴△DPF≌EPC

∴DP＝CE

方法五：补行法构造等腰三角形。

如图：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，BF平分∠ABC，CD丄BF交BF的延长线于点D，求证：BF＝2CD

证明：延长BA，CD交于点E

∵BF平分∠ABC，CD丄BD，BD＝BD

∴△BDC≌△BDE

∴CD＝ED，即CE＝2CD

∵∠BAC＝90º，∠BDC＝90º

∠AFB＝∠CFD

∴∠ABF＝∠DCF

∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90º

∴△ABF≌△ACE

∴BF＝CE

∴BF＝2CD

方法六：截长或补短法构造等腰三角形。

如图：△ABC是等边三角形，P是△ABC外一点，且∠ABP＋∠ACP＝180º。

求证：PB＋PC＝PA

证明：延长PC到D，使CD＝PB，连接AD。

∵∠ABP＋∠ACP＝180º，

∠ACP＋∠ACD＝180º

∴∠ABP＝∠ACD，

又∵△ABC为等边三角形

∴AB＝AC

∴△ABP≌△ACD

∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD

∵△ABC为等边三角形

∴∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝60º

∴∠CAD＋∠PAC＝60º

即∠PAD＝60º

∴△PAD为等边三角形

∴PA＝PD＝PC＋PD

∴PB＋PC＝PA

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