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等腰三角形中作辅助线的八种常用方法(等腰三角形辅助线)

导语:老教师帮你总结,等腰三角形中作辅助线的六种常用方法

方法一:等腰三角形有底边中点时,常作底边上的中线。

例:如图在△ABC中,∠BAC=90º,AB=AC,D为BC中点。E,F分别是AB,CA延长线上的点,且BE=AF,求证△DEF为等腰直角三角形。

证明:连接AD。

∵∠BAC=90º,AB=AC,D是BC的中点。

∴∠ADB=90º,

∠ABD=(180º—90º)÷2=45º,

∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2=90º÷2=45º

∴∠ABD=∠BAD

∴AD=BD

∵∠CAD+∠FAD=180º

∠ABD+∠EBD=180º

∴∠FAD=∠EBD,

∵BE=AF

∴△AFD≌△BED

∴DF=DE ∠ADF=∠EDB

∵∠ADF+∠FDB=∠ADB=90º

∴∠EDB+∠FDB=∠EDF=90º

∴△EDF是等腰直角三角形。

方法二:等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高。

例:如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证∠BAC=2∠DBC

证明:过点A作AE丄BC于点E

∵AB=AC

∴∠BAC=2∠CAE

∵BD丄AC

∴∠CAE+∠C=∠DBC+∠C=90

∴∠CAE=∠DBC

∴∠BAC=2∠DBC

方法三:等腰三角形中证明与腰有关联的线段之间的关系,常做腰的平行线。

如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF,求证DE=DF。

证明:过点E作EG∥AC,交BC于点G

∴∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB

∵AB=AC

∴∠ACB=∠B

∴∠B=∠EGB

∴BE=EG

∵BE=CF

∴EG=CF

∵∠EDG=∠CDF,∠DEG=∠F

∴△EDG旦△FCD

∴DE=DF。

方法四:等腰三角形中证明与底有关联的线段之间的关系,时常作底的平行线。

例:如图,已知等边△ABC,在AB边上任取一点D,延长BC到E,使CE=AD,连接DE交AC于点P,求证DP=PE。

证明:过点D作DF∥BE,交AC于点F

∴∠ADF=∠B,∠AFD=∠ACB,

∠FDP=∠E

∵△ABC为等边三角形

∴∠A=∠B=∠ACB=60

∴∠ADF=∠AFD=∠A=60

∴△ADF为等边三角形

∴AD=DF

∵AD=CE

∴DF=CE

∵∠DPF=∠EPC,∠FDP=∠E

∴△DPF≌EPC

∴DP=CE

方法五:补行法构造等腰三角形。

如图:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90º,BF平分∠ABC,CD丄BF交BF的延长线于点D,求证:BF=2CD

证明:延长BA,CD交于点E

∵BF平分∠ABC,CD丄BD,BD=BD

∴△BDC≌△BDE

∴CD=ED,即CE=2CD

∵∠BAC=90º,∠BDC=90º

∠AFB=∠CFD

∴∠ABF=∠DCF

∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90º

∴△ABF≌△ACE

∴BF=CE

∴BF=2CD

方法六:截长或补短法构造等腰三角形。

如图:△ABC是等边三角形,P是△ABC外一点,且∠ABP+∠ACP=180º。

求证:PB+PC=PA

证明:延长PC到D,使CD=PB,连接AD。

∵∠ABP+∠ACP=180º,

∠ACP+∠ACD=180º

∴∠ABP=∠ACD,

又∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC

∴△ABP≌△ACD

∴AP=AD,∠BAP=∠CAD

∵△ABC为等边三角形

∴∠BAP+∠PAC=∠BAC=60º

∴∠CAD+∠PAC=60º

即∠PAD=60º

∴△PAD为等边三角形

∴PA=PD=PC+PD

∴PB+PC=PA

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