09的循环为什么等于一(09的循环小数等于一吗为什么)

导语：0.9的循环为什么等于1—从数系发展谈起（3）

有了前两期的铺垫，本期我们来证明0.9的循环等于1。我们现在知道每一个戴德金分割对应一个实数，所以我们只要证明这两个实数对应的戴德金分割是一样的就可以了。

0.999…的戴德金分割

A={x∈Q|x<0.999…}，

B={x∈Q|x≥0.999…}。

显然A∩B=∅，A∪B=Q。

1的戴德金分割

M={x∈Q|x<1}，

N={x∈Q|x≥1}。

显然M∩N=∅，M∪N=Q。

证明两种分割相等

要想证明分割一样，就要证明集合A=M。

（1）证A⊂M；

设a∈A，∴a<0.999…，

∴a<1，∴a∈M。

（2）证M⊂A；

设m∈M，∴m<1。

因为m是有理数，∴m=p/q<1,

∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q,

∵p<q，∴q-p≥1，

∴(q-p)/q≥1/q。

总是存在正整数n，使得

10^n>q,

∴1/ 10^n <1/q,

∴1-m>1/ 10^n,

∴m<1- 1/ 10^n=0.99…9(n个9)，

∵0.99…9(n个9)<0.999…,

∴m<0.999…,

∴m∈A。

因此我们得到A=M。这就说明两个分割是一样的。故0.9的循环等于1。

很多网友想通过

10×0.999…=9.999…

或

1/3=0.333…，

来证明。

但是有两个问题，

1. 没有严格定义过无限小数的乘法。

2. 1/3为什么等于0.333…。

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