平行四边形的性质(一)(平行四边形的性质怎么讲)

本文将梳理平行四边形的性质，并且围绕平行四边形的性质进行证明，同时解决平行四边形背景下的面积计算。

1、平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、平行四边形的性质定理：

平行的四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3、平行线的距离：

两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的就距离；

两平行线的距离处处相等；夹在两平行线间的平行线段相等。

1、与角相关的证明与计算：

① 已知，平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )

A、1:2:3:4；B、3:4:4:3；

C、3:3:4:4 ；D、3:4:3:4.

解析：平行四边形的对角相等，邻角互补。因此，角之间的关系是∠A=∠C；∠B=∠D，由此可见，D选项正确。

② 在平行四边形ABCD中，如果AB=8，AD、BC之间的距离为4，求∠A度数。

解析：本题有两种情况，当∠A为锐角时，如图1，此时∠A=30°；当∠A为钝角时，如图2，此时∠B=30°，∠A=150°，综上，∠A=30°或150°。

③ 在平行四边形ABCD的一个锐角向对边作两条高，如果两条高的夹角为135°，求平行四边形各个内角的度数。

解析：本题需要根据题意画出图形，利用几组几组相等的内错角以及同角的余角相等，求出平行四边形各个内角的度数。

2、与边相关的证明与计算：

① 已知，如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM，

求证：(1) AE=AB；(2)如果BM平分∠ABC，求证:BM⊥CE.

解析：平行四边形+角平分线，往往会出现等腰三角形。本题的第2问可以通过证明▲AEM为等腰三角形，利用三线合一来证明BM⊥CE；也可以利用AB=AE=AM，利用角之间的关系证明BM⊥CE.

② 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DF⊥BC，垂足为F.

求证：∠AED=∠EFB.

解析：本题根据中点性质，既可以利用倍长中线法证明，也可以构造中位线证明。

3、与对角线相关的证明与计算：

① 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O的直线交AD,CB的延长线于点E、F。请找出图中所有的全等三角形。

② 在周长为20厘米的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则▲ABE的周长为多少？

解析：利用OE是BD的垂直平分线，得到BE=DE，将▲ABE的周长转化为AB+AD.

补充：若BC>AB，则▲BOC与▲AOB的周长差为(BO+OC+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB。

4、与底角平分线相关的证明与计算：

在平行四边形中，做一个角的角平分线就会产生等腰三角形；特别地，如果做两个同旁内角的角平分线就会产生垂直。

① 平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别分BC成5厘米和3厘米两段，则这个平行四边形的周长为多少？

解析：画图后进行分类讨论，利用平行+角平分线→等腰三角形。这三者之间存在互推的关系（已知2→1）。

① 平行四边形ABCD中，AB=8，∠C=60°，∠A的平分线与∠B的平分线相交于点E，EF⊥AB，求EF的长.

解析：利用同旁内角角平分线互相垂直以及30°角的性质求解。

1、基本图形中的面积关系：

2、平行四边形背景下与面积相关的问题：

① 如图，在平行四边形ABCD中，点F在DC延长线上，联结AF交BC于点E，联结BF,DE，求证：S▲ADE=S▲BAF.

解析：要证明▲ADE的面积=▲BAF的面积，从图中可以看出这两个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半，所以结论可证。

② 如图1，E为平行四边形ABCD内一点，试探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面积之间的关系；如图2，E在平行四边形ABCD边CD所在直线上方，试探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面积之间的关系.

解析：借由前面的解题思路，通过过点E作垂线，计算四个三角形的面积，用平行四边形的边长表示相应的面积。

③如图，设P为四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线交平行四边形的四边于E，F，G，H四点，若四边形AHPE的面积为3，若四边形PFCG的面积为5，求▲PBD的面积为多少？

解析：利用面积的和差以及相等的三角形面积进行计算。

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