有理数系数无理根的一元二次方程怎么解(无理根式有理化)
导语:有理数系数无理根的一元二次方程怎么解?
题1:已知m、n为有理数,关于x的方程x^2+mx+n=0有一个根为2+√3,求方程的另一个根及m、n的值.
分析与解:不少学生一见此题首先想到的解法是:把x=2+√3代入方程,得:
(2+√3)^2+m(2+√3)+n=0.
至此才发现已知条件好像缺少了一个,或者说方程的字母系数多了一个.总之,认为已知的条件不足以解决这道题.这种认为显然是受到曾经解过以下类似题目的影响.
题2:已知x=2+√3是关于x的方程x^2-mx+m-3=0的一个根,求方程的另一个根及m的值.
对于这个题,人人都会想到如下的解法:
把x=2+√3代入方程,得:
(2+√3)^2-m(2+√3)+m-3=0.
整理,得:(1+√3)m=4(1+√3),
所以m=4,
所以方程为:x^2-4x+1=0,
解得方程的另一根为2-√3.
仔细比较一下两道题的异同点,题1的字母系数比题2多了一个;题1强调字母系数m、n为有理数,而题2对m的值不强调为有理数;题1和题2的相同点都是方程的一个根为2+√3,这是一个无理数根.
由此可见,解决题1的关键在于理解和运用系数为有理数这个条件.
首先,我们仍然是把x=2+√3代入方程,得:
(2+√3)^2+m(2+√3)+n=0,
即7+4√3+2m+√3m+n=0,
接下来对方程左边按有理数和无理数归类分组,得:
(7+2m+n)+(4+m)√3=0,
因为m,n为有理数,所以7+2m+n是有理数,
如果4+m≠0,则(4+m) √3为无理数,
因为有理数与无理数的和不等于0,
所以等式(7+2m+n)+(4+m)√3=0不成立,
所以4+m=0,m=-4,
把m=-4代入(7+2m+n)+(4+m)√3=0,得
7+2×(-4)+n=0,解得n=1,
所以原方程为x^2-4x+1=0,
解得另一根为2-√3.
所以,方程的另一个根为2-√3,m=-4,n=1.
题1是有理系数一元二次方程无理数根的问题,这类问题的解法除了上述方法外,事实上还可以根据如下结论进行简捷地求解.
如果x=m+√n(m,n为有理数,√n是无理数)是有理系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则x=m-√n是该方程的另一个根.
比如上述题1的解法,在未解得m,n时,我们就可以确定方程的另一个根是2-√3,然后由根和系数的关系(韦达定理)即可得:
(2+√3)+(2-√3)=-m,
(2+√3)(2-√3)=n,
所以m=-4,n=1.
运用这个结论解得的结果与上述是一样的,而我们要问的是:这个结论对一般的一元二次方程成立吗?回答是肯定的.下面进行证明.
因为x=m+√n(m,n为有理数)是有理系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一个根,
所以a(m+√n)^2+b(m+√n)+c=0,
整理,得:(am^2+an+bm+c)+(2am+b) √n=0,
因为a、b、c、m、n都是有理数,
所以am^2+an+bm+c和2am+b也都是有理数,
因为√n是无理数,
所以am^2+an+bm+c=0且2am+b=0,
当x=2-√n时,方程ax^2+bx+c=0的左边为:
a(m-√n)^2+b(m-√n)+c
=(am^2+an+bm+c)-(2am+b) √n
=0-0√n=0=右边,
所以x=2-√n是方程ax^2+bx+c=0的根.
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