双曲线有切线吗(双曲线怎么切的)

导语：难道双曲线也有割线定理？这是怎么回事？大家快来看看

这是全国高考数学的真题，它的条件一下子让老黄想到了割线定理。但它却是关于双曲线的，这是怎么回事呢？我们一起来看看题目吧！

设C是双曲线x^2-y^2/16=1的右支，T在直线x=1/2上，过T的两条直线分别交C于A, B两点和P, Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

分析：题目本身是没有图的。可以先作出草图帮助理解：

直线AB，PQ显然就是曲线的割线，它们相交于T点，而且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，这像不像割线定理？在老黄思考这道题的时候，就一直受到这个条件的干扰，希望通过作过A，B，P，Q的圆来解决这个问题，但这样却怎么也走不通。如果大家有兴趣，可以继续走一走，看能不能走得通。好了，言传正传，下面分享这道题的解题过程和思路。

解：如图，设T(1/2,t)，则直线AB，和PQ的参量方程分别如下：

｛x=1/2+rcosα, y=t+rsinα｝;{x=1/2+rcosβ, y=t+rsinβ}, 【α，β分别是直线AP和PQ的倾斜角，接下来求两条直线与双曲线右支的交点情况】

当(1/2+rcosα)^2-(t+rsinα)^2/16=1时, (17cos2α-1)r^2+(16cosα-2tsinα)r-(t^2+12)=0.

r1r2=-(t^2+12)/(17(cosα)^2-1)=(a-1/2)(b-1/2)/(cosα)^2，a,b分别为为A,B的横坐标.【式子两端的等量关系是由参量方程化得的】

同理可得：-(t^2+12)/(17(cosβ)^2-1)=(a-1/2)(b-1/2)/(cosβ)^2，p,q为P,Q的横坐标.【由于过程完全一样，只需把α改成β，这里就不做赘述】

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|, 有(a-1/2)(b-1/2)/(cosα)^2=(p-1/2)(q-1/2)/(cosβ)^2，【这里需要有一转化过程，请自行完成】

所以-(t^2+12)/(17(cosα)^2-1)=-(t^2+12)/(17(cosβ)^2-1)，所以(cosα)^2=(cosβ)^2，【根据题目的实际，满足这个条件的α和β只能是互补的关系】

∴tanα=-tanβ, 即AB的斜率与PQ的斜率之和为0.

题目并不十分复杂，但还是比较难的。聪明的您怎么看呢？

本文内容由小莉整理编辑！