一次函数面积技巧方法(一次函数的面积求解题及答案)
导语：「初中数学」一次函数面积
一次函数面积专题 ——《初识铅锤法》
我们以一次函数中的面积问题为切入点，来看看其背后蕴含的丰富解法．
一．问题分析
我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．
但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？
甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？
本讲就主要研究后2类问题及其变式．
二．实例感悟
(1)两线与一轴
即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．
例1：
已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．
分析：
显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．
小结：
我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．
变式1：
直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．
解析：
变式2：
在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．
解析：
同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．
变式3：
直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA＝3：4，点C为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．
分析：
首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．
解答：
(2)三线两相交
即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．
其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅锤法，或称宽高法来求三角形的面积．
例2：
已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB
分析：
显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．
如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅锤法．
什么是铅锤法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅锤线，即作BD⊥x轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD反而看作△OBC的高，DE看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是
解答：
为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．
以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅锤线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅锤高，从而得出了宽高公式，说的再透些，
那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．
以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅锤高，则问题均可圆满解决．
例2：
已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC
解析：
本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．
分析：
本题解法较多，我们重点来研究铅锤法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅锤高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．
解答：
小结：
从2种情况综合来看，我们不难发现，铅锤高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．
当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．
最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．
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