网格中的勾股定理(勾股网格问题)

导语：中考热点：小网格大舞台，网格之勾股定理应用题，一网打尽全提升

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算，由于这类问题往往具有操作探究性，备受命题者青睐。

类型1、面积问题

例1、如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（ ）

A、3：4 B、5：8 C、9：16 D、1：2

解析：可以设每一个小正方形的边长为1，则正方形ABCD的面积就是4×4=16，小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边，另外两条直角边长度分别是1和3，根据勾股定理可以求出EF=√10，所以小正方形的面积就是（√10）²=10。所以阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是10：16=5：8。故选择B。

类型2、长度问题

例2、如图2所示，在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是（ ）

A、a＜b＜c B、c＜a＜b

C、c＜b＜a D、b＜a＜c

解析：两个正数比较大小，可以按照下面的方法进行：如果a＞0，b＞0，并且 a＞b，那么√a＞√b。可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形BDC中，根据勾股定理可以求出斜边a²=10，通力可以求出b²=5，c²=13，因为b²＜a²＜c²，所以b＜a＜c。故选择D。

类型3、三角形形状问题

例3、如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A'B'C'、△A''B''C''三个三角形中，直角三角形有（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D以上都不对

解析：要想判断是否为直角三角形，本题中可以根据勾股定理的逆定理来进行判断，前提条件是先求出三角形的三边的平方。同样可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形ABC中，AB²=10，BC²=5，CA²=5，因为，BC²＋CA²=AB²，所以该三角形是直角三角形。同理可以求出，A'B' ²=10，B'C' ²=5，C'A' ²=13，因为A'B' ²＋B'C' ²≠C'A' ²，所以该三角形不是直角三角形，同理可以判断△A''B''C''是直角三角形。故选择B。

类型4、求角度问题

例4、如图4，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求

的度数．

类型5、作图问题

例5．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；

(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

解：(1)如图1的正方形的边长是√10，面积是10；如图2的三角形的边长分别为2，√5,√13；

(3)如图3，连接AC，CD，

则AD＝BD＝CD＝√5，∴∠ACB＝90°，

由勾股定理得：AC＝BC＝√10，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°.

例6．如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长为1，请在网格中按下列要求操作：

(1)以点A为其中的一个顶点，在图(1)中画一个面积等于3的格点直角三角形；

(2)以点A为其中的一个顶点，在图(2)中画一个面积等于5/2的格点等腰直角三角形．

(3)以点A为其中的一个顶点，在图(3)中画一个三边比为1∶√2∶√5，且最长边为5的格点三角形．

解：(1)如图所示：

(2)如图所示：

(3)如图所示：

例7．如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．

解：(2)如图2所示：

共7个点．

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