数列的单调性和大小项(求数列单调性的方法总结)

导语：运用数列的单调性求最大（小）项

数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列而言，若，则此数列为递增数列，若，则其为递减数列，若，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。

一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列

例1. 已知等差数列（d<0）其前n项和为，若，问中哪一项最大？

解：因为

又因为

，因为d<0

所以数列单调递减，于是

最大

点评：等差数列中，当d<0时，时，最大。

公差

时，最小。

二. 无理根式函数为背景的数列

例2. 设函数数列满足

（1）求。

（2）求的最小项

解：（1）由已知

解得

，即

可知

（2）

，可知数列是递增数列

的最小项为

点评：注意隐含条件，否则会得出的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。

三. 以分式函数为背景的数列

例3. 已知

则在数列的前30项中最大项和最小项分别是_____。

解：

数列中的项是函数上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由右移个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在上是减函数。

在上也是减函数，从而可知当n=9时最小，n=10时，最大。

最大项和最小项分别为。

例4. 已知，记，求数列的最小值。

解：

，

则

为递增数列

中的最小项为

四. 以函数

为背景的数列

例5. 已知数列

，则该数列中的最大项是第几项？

解：由得联想函数知函数在上为减函数。在为增函数。

当且仅当时，函数取最小值，而。

要使的值最小，应使。

通过计算验证，可得n=12或13时，最大。

为数列中的最大项。

五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>）

例6. 已知无穷数列的通项公式

，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

解：

时，，即

当n=8时，，即

当n>8时，，即

由函数单调性知数列存在最大项即第8，9项。

例7. 已知数列的通项公式为，其中，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。

解：

（1）当时，易见，即，所以数列中不存在最大项。

（2）当0<a<1时，易见< a<1时，易见<="" span=""></a<1时，易见<>

（i）当

，即

时

，即，所以数列中的第1项最大。

（ii）当，即时，。（仅在n=1时等式成立）即

所以数列中的第1项和第2项最大…

（iii）当

即

时，若且为整数。

记，易知

所以数列中的第N项和第N+1项最大。

若不是整数，记N为不超过的最大整数。

易见所以数列中的第N+1项最大。

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