截长补短法证明线段和差问题(截长补短法证明几何题)

导语：利用截长补短法证明线段的和差关系，归纳题型，总结解题方法

初中几何题目中，经常会遇到证明一条线段与另一条线段的和差关系，这类题目中，也经常和全等三角形结合在一起出题，一般利用三角形全等的性质得到对应边相等，通过转化或等量代换证明一条线段与另两条线段的和差关系。

因此在证明一条线段的长度等于两条线段的长度之和，或两条线段的长度之差等于第三条线段的长度的问题时，常用截长法或补短法，即在长线段士截取一条线段等于共中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；或者是延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段。一般不管是截长还是补短，往往需要连接其他线段，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题。另外，并不是所有的此类问题都既可以用截长法，又可以用补短法。

例题1：如图，在三角形ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD.

【解析】：本题考查的就是线段的和差关系，而在题目中，没有明显的线段间的转化和数量关系的表示，因此可以采用截长补短的方法解决。方法一：截长法。可以在AB上截取AF=AC，如图从而可以证明出△AFD≌△ACD(SAS)，经过等量的转化最终得到AB=AC+CD。方法二：补短法。由于AC<AB,因此可以延长到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED，然后根据条件证明出△ABD≌△AED，最终得到AB=AC+DC。

其实证明线段和差关系是学习了证明线段相等后的扩展延伸，通常是采用“截长补短法”，通过上述例题，我们可以总结出求解的基本步骤，①、确定要求证的和线段AB，加数线段AC，BD。②、可在和线段AB上截取AF=AC(或BF=BD)，即截长法，也可选择延长AC(或BD)，使其等于AB，即补短法。③、构造出包含要证线段的全等三角形。④、利用全等三角形中的等量关系得出需证结果。

全等三角形的判定和性质是整个中学阶段的重点，而考试的题目总是千变万化，但是万变不离其宗，同学们要熟练掌握基础知识，将基础打牢，面对新题型或者知识点的延伸的时候，只需要结合基础，找出与基础题型的相似关系，然后就能够解决。这需要同学们不断的积累，不断的学习、反思、总结。加油

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