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截长补短法证明线段和差问题(截长补短法证明几何题)

导语:利用截长补短法证明线段的和差关系,归纳题型,总结解题方法

初中几何题目中,经常会遇到证明一条线段与另一条线段的和差关系,这类题目中,也经常和全等三角形结合在一起出题,一般利用三角形全等的性质得到对应边相等,通过转化或等量代换证明一条线段与另两条线段的和差关系。

因此在证明一条线段的长度等于两条线段的长度之和,或两条线段的长度之差等于第三条线段的长度的问题时,常用截长法或补短法,即在长线段士截取一条线段等于共中一条短线段,再证明剩下的部分等于另一条短线段;或者是延长其中一条短线段,使延长部分等于另一条线段,再证明延长后的线段等于长线段。一般不管是截长还是补短,往往需要连接其他线段,构造全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题。另外,并不是所有的此类问题都既可以用截长法,又可以用补短法。

例题1:如图,在三角形ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.

【解析】:本题考查的就是线段的和差关系,而在题目中,没有明显的线段间的转化和数量关系的表示,因此可以采用截长补短的方法解决。方法一:截长法。可以在AB上截取AF=AC,如图从而可以证明出△AFD≌△ACD(SAS),经过等量的转化最终得到AB=AC+CD。方法二:补短法。由于AC<AB,因此可以延长到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,然后根据条件证明出△ABD≌△AED,最终得到AB=AC+DC。

其实证明线段和差关系是学习了证明线段相等后的扩展延伸,通常是采用“截长补短法”,通过上述例题,我们可以总结出求解的基本步骤,①、确定要求证的和线段AB,加数线段AC,BD。②、可在和线段AB上截取AF=AC(或BF=BD),即截长法,也可选择延长AC(或BD),使其等于AB,即补短法。③、构造出包含要证线段的全等三角形。④、利用全等三角形中的等量关系得出需证结果。

全等三角形的判定和性质是整个中学阶段的重点,而考试的题目总是千变万化,但是万变不离其宗,同学们要熟练掌握基础知识,将基础打牢,面对新题型或者知识点的延伸的时候,只需要结合基础,找出与基础题型的相似关系,然后就能够解决。这需要同学们不断的积累,不断的学习、反思、总结。加油

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