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反比例函数系数k的几何意义是什么(反比例函数系数k的性质)

导语:「初中数学」用反比例函数系数K的几何意义解与面积相关的问题

反比例函数系数k的几何意义是什么(反比例函数系数k的性质)

在许多题目里,在反比例函数图象中,往往涉及三角形或四边形的面积,一般灵活运用反比例函数系数K的几何意义,或设出图象上点的坐标,再利用其他条件列出等量关系进行求解.下面给出几个图形.

题型一.反比例函数的系数K与面积的关系

1.如图,正比例函数y=x与反比例函数y=1/x的图象交于A,B两点,BC⊥x轴于点C,则△ABC的面积为_______.

2.如图,点P在y轴正半轴上运动,点C在x轴上运动,过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=一4/x(x<0)和y=2/x(x>0)的图象于A、B两点,则△ABC的面积为______

3.如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=6/x在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC一S△BAD为______.

【分析】本题初看不好解答,但要求面积之差,大胆引进未知数,由题意可设OC=AC=a,AD=BD=b,则A点坐标为(a,a),B点坐标为(a十b,a一b),∵点B在y=6/x上,∴(a+b)(a一b)=6,即a²一b²=6,而S△OAC=a²,S△BAD=b²,所以本题答案为6.

4.如图,点A,C为反比例函数y=K/x(x<0)图象上的点,过点A,C分别作AB⊥x轴,CD⊥x轴,垂足分别为B,D,连接OA,AC,OC,线段OC交AB于点E,点E恰好为OC的中点,当△AEC的面积为3/2时,K的值为_____.

【分析】本题关键是由E为OC的中点,得到BE为△OCD的中位线,从而找到OD=2OB,进而找到CD与AB的关系,若设A点坐标为(m,K/m),则D点坐标为(2m,K/2m),则AB=K/m,CD=K/2m,则BE=K/4m,∴AE=K/m一K/4m,而DB=m一2m,可等同于△AEC,AE边上的高,则AE×BD/2=S△AEC=3/2,即(K/m一K/4m)(m一2m)/2=3/2,解得K=一4,(仔细体会由中点这一条件,利用横坐标的倍比关系,建立纵坐标乃至垂线段的关系同时引进了系数K,为建立含K的方程做出铺垫).本题也可用S梯形CDBA=S△AOC=3,求出K,即(k/2m+K/m)(m一2m)/2=3,解得K=一4,这时利用于E为OC的中点,S△AEC=S△AOC/2.

5.如图,一次函数y=Kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于点A(一3,m+8),B(n,6)两点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)求△AOB的面积.

【分析】(1)求反比例函数解析式只须一个条件,求一次函数需两个条件,将A点坐标代入反比例函数解析式,建立关于m的方程,求得m=一6,则反比例函数解析式为y=一6/x,再代入B点坐标,可求出n的值,则A,B两点坐标确定,设出一次函数解析式,代入A,B两点坐标,建立方程组,可确定一次函数解析式为y=一2x一4.(2)要求△AOB的面积,设AB与x轴交于C点,依托坐标轴上的线段做底,将△AOB分为△AOC和△BOC,利用A,B两点纵坐标绝对值做高,可方便求出面积

S△AOB=S△AOC十S△BOC=2×2×1/2十2×6×1/2=2十6=8.

【第1题,第2题答案都为1】

题型二.利用面积求反比例函数的解析式

(一)已知三角形面积求函数解析式

6.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A(一2,0),与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n),连接BO,已知S△AOB=4.

(1)求该反比例函数,及直线AB对应的函数解析式;

(2)若直线AB与y轴的交点为C,求△OCB的面积.

【分析】(1)由A点坐标,可知OA=2,由S△AOB=4,可得|n|=4,因B点在第一象限,n>O,∴n=4,可知B点坐标为(2,4),可求反比例函数关系式为y=8/x,设出直线AB的解析式y=Kx+b,代入A,B两点坐标,可求直线AB解析式为y=x+2.(2)由于直线AB与y轴交于C点,可得C点坐标为(0,2),∴S△OCB=s△AOB一S△AOC=4一2×2×1/2=2.

(二)已知四边形面积求函数解析式

7.如图,在平面直角坐标系中,双曲线y=K/x经过平行四边形ABCD的顶点B,D.点D的坐标为(2,1),点A在y轴上,且AD∥x轴,平行四边形ABCD的面积为5.

(1)填空:点A的坐标为_______;

(2)求双曲线和AB所在直线的解析式.

【分析】(1)由AD∥x轴,C点坐标为(2,1),而A点在y轴上,∴A点坐标为(0,1).(2).由双曲线过点D(2,1),可求双曲线解析式为y=2/x.由于AD=2,平行四边形的面积为5,可求AD与BC间距离为5/2,则原点到BC间距离为3/2,∴B点纵坐标为一3/2,代入双曲线解析式,可求B点横坐枋为一4/3,∴B点坐标为(一4/3,一3/2),由A,B两点坐标可求直线AB的解析式为y=15x/8+1.

题型三.已知反比例函数解析式求图形的面积

(一)利用对称性求面积

8.如图是由四条曲线围成的广告标志,建立平面直角坐标系,双曲线对应的函数解析式分别为y=一6/x,y=6/x,现用四根钢条固定这四条曲线,这四根钢条所围成的矩形ABCD的面积是多少?

【分析】由反比例函数图象的对称性可知,两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形,∴S矩形ABCD=4×6=24.

(二)利用点的坐标及面积公式求面积

9.如图,一次函数y=Kx十b与反比例函数y=a/x的图象在第一象限交于A,B两点,点B的坐标为(3,2),连接OA,OB,过B作BD⊥y轴,垂足为D,交OA于C,若OC=CA.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式i

(2)求△AOB的面积.

【分析】(1)由B点坐标可求反比例函数解析式为y=6/x,过点A作AF⊥x轴,垂足为F,交BD于E,则EF=2,∵BD⊥y轴,OC=CA,∴AE=EF=AF/2,∴AF=4,即A点纵坐标为4,代入反比例函数解析式,可求横坐标为3/2,∴A点坐标为(3/2,4)∴一次函数解析式可求为y=一4x/3+6.

(2)设AF与OB交于点G,∵B点坐标为(3,2),可求直线OB的解析式为y=2x/3,∴可求G点坐标为(3/2,1),∴AG=3,∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=1/2×3×3=9/2.

(三)利用面积关系求点的坐标

10.如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(√3,1)在反比例函数y=K/x的图象上.

(1)求反比例函数y=K/x的解析式.

(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP=1/2S△AOB,求点P的坐标,

(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上,说明理由.

【分析】(1)由A(√3,1)在反比例函数图象上,可得K=√3,解析式为y=√3/x.

(2)由A(√3,1),AB⊥x轴,∴OC=√3,AC=1,∴OA=2,∴∠AOC=30°,又∵OA⊥OB,∴∠COB=60°,则∠OBC=30°,∴OB=2√3,BC=3,∴B点坐标为(√3,一3),那么S△AOB=2√3,则S△AOP=1/2S△AOB=√3,若设点P坐标为(m,0),则1/2×|m|×1=√3,∴|m|=2√3,由于P点在x轴的负半轴上,∴P点坐标为(一2√3,0).

(3)由于将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,则△BOA≌△BDE,∴∠OBD=60°,BO=BD=2√3,OA=DE=2,而∠OBC=30°,∴∠ABD=90°,而BD一OC=√3,BC一DE=1,∴E点坐标为(一√3,一1),∵一√3×(一1)=√3,∴E点在反比例函数的图象上.

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