物体竖直上抛的公式(物体竖直上抛运动公式)

导语：高中物理解题小技巧（17）——竖直上抛物体运动中两种运动相关

竖直上抛物体运动中两种运动相关

竖直上抛运动是在地球表将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出物体所形成的运动。

竖直上抛运动是一种特殊的匀变速直线运动，竖直上抛运动的规律与特征：

（1）竖直上抛运动的条件：有一个竖直向上的初速度υ。，运动过程中只受重力作用，加速度为竖直向下的重力加速度g。

（2）竖直上抛运动的规律：竖直上抛运动是加速度恒定的匀变速直线运动，若以抛出点为坐标原点，竖直向上为坐标轴正方向建立坐标系，其位移公与速度公式分别为

S=υ。t－（1/2）gt²

υ=υ。－gt

推论：Vt²－V。²=－2aS

当位移出现负值时，表明物体经过了抛出点，在抛出点的下方。

当速度出现负值时，表示物体经过了最高点，向下运动。

（3）可以把竖直上抛运动分成上升和下降两个部分运动，

竖直上抛运动分成上升和下降两个部分运动

上升阶段是匀减速运动，

规律： S=υ。t－（1/2）gt²

υ=υ。－gt

下降阶段是自由落体运动，

规律：S=（1/2）gt²

υ=gt

（4）竖直上抛物体的运动图像

竖直上抛运动的速度和位移图像：

竖直上抛运动的速度和位移图像

由速度图像，可以得出结论：

上升阶段和下升阶段具有时间和速率上的“对称性”：

时间对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等，方向相反的位移所经历的时间相等，

即：t上=t下

速率对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一位置时的速率大小相等，（方向相反），

即：υ上=υ下

（4）竖直上抛运动也可以作为两个运动的合成：

设竖直向上的方向为正方向，

一个分运动是速度为的υ。，竖直向上的匀速运动，

规律：S=υ。t ，υ=υ。

一个分运动是自由落体运动，

规律：S=－（1/2）gt² ， υ=－gt

竖直上抛运动为这两个运动的合运动。

（5）竖直上抛运动的最大高度取决于物体的初速度υ。，且有：H=υ。²/2g

（6）竖直上抛到最高点时间取决于物体的初速度υ。，且有：T=υ。/g

一、竖直上抛运动与自由落体运动

例1、从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v。竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v。应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）。若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v。应满足什么条件？

解法一：

选择乙物体为参照物，则甲物体相对乙物体的初速度:

v甲乙=0-v。=-v。

甲物体相对乙物体的加速度

a甲乙=-g-（-g）=0

由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下，速度大小为v。的匀速直线运动.

所以，相遇时间为：t=h/v。

对第一种情况，乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0≤t≤（2v。/g）

即:0≤(h/v。)≤（2v。/g）

所以当：v。≥√（gh/2）

两物体在空中相碰.

对第二种情况，乙物体做竖直上抛运动，下落过程的时间为：

(h/v。)≤t≤（2v。/g）

即：(h/v。)≤h/v。≤（2v。/g）

所以当 ：

√（gh/2）≤v。≤√（gh）时,

乙物体在下落过程中与甲物体相碰.

解法二： 选择下面两个临界状态：

当小球乙的初速度为υ₁时，两球恰好同时着地，

这是乙物体在下落过程中与甲物体相碰的最小速度；

当小球乙的初速度为υ₂时，两球相遇点恰在乙球上升的最高点处，

这是乙物体在下落过程中与甲物体相碰的最大速度。

分别列位移方程：

h=（1/2）g（2υ₁/g）²

h=（υ₂²/2g）+（1/2）g（υ₂/g）²

由此可分别得到

υ₁=√（gh/2）

υ₂=√（gh）

所以：√（gh/2）≤v。≤√（gh）

例2.如图所示，长为1m的杆用短线悬在21m高处，在剪断线的同时地面上一小球以υ。=20m/s的初速度竖直向上抛出，取g=10m/s²₁，则经时间t=______s， 小球与杆的下端等高；再经时间△t=____________s，小球与杆的上端等高.

例2

解：选择小球物体为参照物，设竖直向下为正方向，

则杆相对小球物体的初速度:

v=0-（-v。）=v。

甲物体相对乙物体的加速度

a=g-g=0

由此可知杆相对小球做竖直向下，

速度大小为v。的匀速直线运动.

所以，相遇时间为：

t=h/ v。

=20m/20(m/s)

=1 s

再与小球与杆的上端等高的时间为：

△t=L/ v。=1m/20(m/s)=0.05 s

由两个例子可以看到，两物体相遇时，应用相对运动的知识往往会使很复杂的问题变得简化，尤其是例2，如果不用相对运动的思维方法，解起来会非常复杂。

二、两个竖直上抛运动

例3、子弹从枪口射出速度大小是30m/s，某人每隔1s竖直向上开一枪，假设子弹在升降过程中都不相碰，试求

（1）空中最多能有几颗子弹？

（2）设在t=0时将第一颗子弹射出，在哪些时刻它和以后射出的子弹在空中相遇而过？

（3）这些子弹在距原处多高的地方与第一颗子弹相遇？（不计空气阻力，g取10m/s²）

解：（1）设子弹射出后经ts回到原处

t=2 v。/g=2×30/10s=6s

t=0时第一颗子弹射出，它于第6s末回到原处时，

第七颗子弹射出，

所以空中最多有六颗子弹。

（2）设第一颗子弹在空中运动t₁s和第二颗子弹在空中相遇．

设竖直向上为正方向：

V₁=v。－g t₁，

V₂=v。－g（t₁－1）

由对称性v₂=-v₁，

即v。－g（t₁－1）=-（v。－g t₁）

解得 t₁=3.5（s）

同理，第一颗子弹在空中运动：

t2=4.0s、t3=4.5s、t4=5.0s、t5=5.5s时

分别与第三颗子弹、第四颗子弹、第五颗子弹、第六颗子弹在空中相遇．

（3）由 S=υ。t－（1/2）gt²

将t1=3.5s，t2=4.0s，t3=4.5s，

t4=5.0s和 t5=5.5s分别代入上式，

得：h1=43.75m，h2=40m，h3=33.75m，

h4=25m，h5=13.75m。

对竖直上抛运动的规律的全面理解，对细节特征的全面掌握，是解决竖直上抛运动现象中，各种问题的基础，而方法的选择，往往决定了解决问题的过程是简单还是复杂！

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