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怎么求圆的半径平方(圆的半径求法)

导语:一道初中题-求圆的半径的平方

一道初中题-求圆的半径的平方

若一个圆的半径为r, 该圆的一个弦长AB=10, 另一个弦长CD=7, 当AB和CD延长后经过B和C点后交于圆外的一点P, 若∠APD=60°, 且BP=8, 求圆的半径r的平方。

解:利用圆的割线定理可以求出PC的长度, 因为:

PC·PD=PB·PA

设PC=x, 那么PD=x+7, 因此:

x(x+7)=8·18

解这个方程可以求出x=9,

如图连接BD, 同时连接AD,

因为PD=PC+DC=9+7=16,

在三角形PBD中,由于∠P=60度, 而BP=2BP, 这与30°-60°-90°的三角形关系是吻合的,这相当于两个三角形全等,所以△PBD是直角三角形。

因此DB垂直于AB, 所以AD是圆的直径。

在直角三角形BPD中可以求出BD=8√3

在直角三角形ABD中用勾股定理可以求出AD的平方,即直径的平方,

即:

带入数值,可以求得:

AD·AD=292,

而半径的平方是直径的平方的四分之一,

所以

关于圆的割线定理的证明,可以通过相似形证明。

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