开发脑洞题(一些脑洞大开的问题)

导语：开启脑洞，一题多解，总有一种方法最优化。详解初中数学题178

178:已知2a²-7a=-2，2b²+2=7b，

求a²/b - b²/a的值。

解：方法一：按部就班

∵2a²-7a=-2，2b²+2=7b，

∴2a²=7a-2，①

2b²=7b-2，②

由①-②得，

2(a+b)(a-b)=7(a-b)，

∵a≠b≠0，

∴a+b=7/2，③

又由①+②得，

2(a²+b²)=7(a+b)-4

=49/2 - 4

=41/2，

∴a²+b²=41/4，④

又∵a+b=7/2，

∴a²+b²+2ab=49/4，

∴2ab=2，

∴ab=1，⑤

∴(a-b)²=a²+b²-2ab

=41/4-2

=33/4，

∴a-b=±√33/2。⑥

∴a²/b - b²/a

=a³-b³/ab

=a³-b³

=(a-b)(a²+ab+b²)

=±√33/2×(41/4 + 1)

=±45√33/8。

方法二——投机取巧。

∵2a²-7a+2=0，

2b²-7b+2=0，

且a≠b≠0，

∴a和b可以看成一方二次方程

2x²-7x+2=0的两个不等实根，

∴a+b=7/2，ab=1，

∴(a-b)²=(a+b)²-4ab

=49/4 - 4

=33/4，

∴a-b=±√33/2，

∴a²/b - b²/a

=a³-b³/ab

=a³-b³

=(a-b)(a²+ab+b²)

=±√33/2×(41/4 + 1)

=±45√33/8。

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