搜索
写经验 领红包
 > 电器

根号2的无限根号2次方(根号2的无限个根号2是多少)

导语:根号二的无限根号二次方,到底等于多少?

如题:

首先,需要解释一下,数学中,出现指数的指数时,计算顺序:指数越高越优先。例如:

先计算3^2=9,再计算4^9=262144。

Ok,回到正题。

一个经常被提到的解答方法是这样的:

那么,无穷再加一层,还是无穷,等于原来的数(∞+1=∞),得

“瞪眼法”,立得x=2和x=4。

一个表达式,怎么会有两个解呢?问题在哪儿?而且一个无穷嵌套的根号二次方,收敛吗?不会越来越大么?

以下是完整解答。

考虑如下数列:

那么:

原问题就转化为一个数列极限的问题。

要考察一个数列的极限,一般分两步:

第一,确定极限是否存在;第二,计算极限。而第一步通常包括两小步,“单调性+有界性”:

首先,数列的有界性:

显然,a0,a1,a2,等等都小于2,假设对an-1,有an-1<2,那么

数学归纳法,可知an<2恒成立,同理,用类似的数学归纳法,可知an≥1。于是

数列an有界。

第二,数列的单调性:作图:

于是

单调性成立。数列an单调递增。

综上,an单调递增有极限,设极限为x。根据递推关系:

两边取极限,得

作图:

得x=2或x=4。又1≤x≤2,知x=2。(虽然计算式一样,出发点不一样。一个是基于数列的极限,另一个则是基于“无穷+1=无穷”)

完毕。

留一个小问题:

当a处于什么范围的时候,上式左边等于一个有限值?这个值是多少呢?

后续阅读:

根号二的无限根号二次方,到底等于多少?后续:从一个方程出发

本文内容由小面整理编辑!