二次函数四边形面积大值问题(二次函数求平行四边形大面积)

导语：二次函数压轴题7，四边形面积最大及菱形的存在性问题

【题目呈现】

如下图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(一3，4)、B(一3，0)、C(一1，0)，以D为顶点的抛物线y=ax²+bx+C经过点B，动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，连接QG.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

(3)动点P，Q运动的过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H，使以B、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出此时菱形的周长;若不存在，请说明理由.

【思路分析】

(1)先求得顶点D的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+1)²+4(a≠0)，将点B的坐标代入可求得a的值，因此可得到抛物线的解析式;

(2)由题意知DP=BQ=t，然后证明△DPE~△DCB，可得到PE=t/2，然后可用含t的式子表示点E的横坐标，进而求得点G的纵坐标，从而得GE的长，连接BG，然后根据S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG列出四边形的面积与t的函数关系式，利用配方法或二次函数的顶点坐标求解即可;

(3)首先用含t的式子表示出DE的长，当BE和BQ为菱形的邻边时BE=QB，可列出关于t的方程，从而求得t的值，然后可求得菱形的周长;当BE为菱形的对角线时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE于M，则BM=EM，然后用含t的式子表示出BE的长，最后利用BE十ED=BD列出方程求出t的值，进而得出菱形的周长.

【答案与解析】

解:(1)由题意得，顶点D的坐标为(一1，4).设抛物线的解析式为y=a(X十1)²十4(a≠0)，又其图象过点B(一3，0)，代入可得a=一1，∴抛物线的解析式为y=一(x+1)²+4，即y=一x²一2x十3.

(2)由题意知，DP=BQ=t，易知PE∥BC，∴△DPE∽△DCB，∴DP/PE=DC/BC=2，∴PE=DP/2=t/2，∴点E的横坐标为一1一t/2，AF=2一t/2，将x=一1一t/2代入y=一(x+1)²十4，得y=一t²/4十4，∴点G的纵坐标为一t²/4十4，∴GE=一t²/4十4一(4一t)=一t²/4十t，如图1所示，连接BG.

则S四边形BDGQ=S△BQG十S△BEG十S△DEG=BQ×AF/2十EG(AF+DF)/2=t(2一t/2)/2一t²/4+t=一t²/2+2t=一1/2(t一2)²十2.∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2.

(3)存在，∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=1/2，BD=2√5，∴cos∠BDC=2√5/5，∵BQ=DP=t，∴DE=√5t/2.如图2所示

当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB.∵BE=BD一DE，∴BQ=BD一DE，即t=2√5一√5t/2，解得t=20一8√5，∴菱形BQHE的周长为80-32√5.

如图3所示

当BE为菱形的对角线时，BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，垂足为M，则BM=EM，∵MB=cos∠QBM×BQ=cos∠BDC×BQ，∴MB=2√5t/5，∴BE=4√5t/5，∵BE十DE=BD，∴4√5t/5十√5t/2=2√5，解得t=20/13，∴菱形BQEH的周长为80/13.

【反思】求面积时，熟练掌握"铅垂底×水平高"这一方法。如本题中S△BEG十S△DEG=EG×(AF十DF)/2，讨论菱形时，抓住BE为边，BE为对角线，结合H点受矩形的限制，情况不算多。

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