勾股数的分类(勾股数有哪些1000以内)

导语：一类勾股数的探讨

勾股数是指满足直角三角形三边的数都是整数的三个数。如3，4，5，；5，12，13…等。请看下面这道中考数学复习题：

有下列n组勾股数：3，4，5，；5，12，13；7，24，25；9，40，41…

填空：用n表示第n组勾股数是：________

这道题，是一道数学探究题，或开放性题，此类题，综合性强,难度大，解答灵活，没有固定方法，但分析得当，还是能顺利解答。下面是笔者的分析。

显然任意相邻的两组数中的第一个数是相邻的两个奇数，所以n组勾股数中的第一个数满足：2n＋1（n为正整数）

每组数中的第2个数与第三个数相差1，故只需找出每组数中第2个数即找出4，12，24，40，…这些数的规律（或通项公式）就可以了。

方法1、拆分法

∵4＝2×1×(1＋1)，12＝2×2×（2＋1），24＝2×3×（3＋1），

40＝2×4×（4＋1），…，所以第n个数是2×n×（n＋1），即：2n（n＋1）

∴用n表示第n组勾股数是：2n＋1，2n（n＋1），2n（n＋1）＋1（受编辑限制不便化简）

方法2、比较法：

每组勾股数的第2个数与第一个数相比即4与3，12与5，24与7，40与9…有规律可寻。

∵4＝3×1＋1，12＝5×2＋2，24＝7×3＋4，40＝9×4＋4，即每组勾股数中，第二个数都是第一个数与它个数的积加个数，所以第n组勾股数中第2个数是：（2n＋1）×n＋n，即2n（n＋1），第三个数就是2n（n＋1）＋1

∴用n表示第n组勾股数是：2n＋1，2n（n＋1），2n（n＋1）＋1

方法3、图象法：

每组勾股数中的第2个数：4，12，24，40，…中，设第n个数为y，则n＝1时，y＝4，n＝2时，y＝12，n＝3时，y＝24，描点可知其图象是抛物线的一部分，如是可设：

∴第n组勾股数中第2个数是：2n（n＋1），第三个数就是2n（n＋1）＋1

当n＝4时，y＝2n（n＋1）＝2×4×5＝40，符合题意，故第n个数y是n的二次函数。

∴用n表示第n组勾股数是：2n＋1，2n（n＋1），2n（n＋1）＋1

方法4、公式法：

∵每组勾股数中第2个数比第3个数小1，故设第2个数为x，第3个数为x＋1，∵第1个数为2n＋1，由题意知第3个数为斜边，由勾股定理得：

有些数学题，看起来很难，似乎山重水尽，如果方法得当，便会柳暗花明。

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