补码运算规则证明(补码完成减法运算的原理)

导语：补码计算的完备性证明以及负128表示问题

前文已经概述了负数用补码表示的由来，但只是证明了一个正数和其对应负数相加为零的特殊情况，对于更一般的加法的正确性，我们给出如下证明。

第一种情况：正数A减去正数B(A-B)

此时A-B相当于A+（-B）则用补码表示相当于 A+256-B，

1）当A>B时转换成256+A-B，256加一个数相当于后八位全零加，则不影响A-B的值，此时得到正确的A-B的正值。

2）当A<B时转换成256-（B-A），二此时256-（B-A）正好是B-A的补码表示，得到正确的负值补码。

第二种情况：负数A减去正数B(-|A|-B)

此时-|A|-B可转换为256-|A|+256-B

当|A|>B时 上式又可转化为 256-（|A|+B) 在没有小于-127溢出的情况下又是正确的表示了结果负数补码的值。

其它情况大家可以参考自行证明。

最后看下特殊的情况：当我们计算-127-1时，补码相加后，由于最高位产生进位，后八位变成了10000000，这个值符合我们负数的表示定义，即可以用来表示-128，同时又符合256-128的计算结果，当然我们不会表示+128.一般情况下任何两数相加为-128时，我们都可以把其中的一个是拆成-|A|+1-1，相当于前例 -127-1的情况。这样我们用10000000来表示-128就是完备的了。

综上：

1） 负数的数字表达即为256减去其绝对值，也是我们人工计算的方法。计算-2的表示，我们用1 00000000减去00000010，我们手工计算的话，得到11111110，相当于把00000010按位取反再加上1，正数按位取反加上自身则8为全为1，再加上1则最高位进位后，8位全为0。

2）已知补码的值，我们人工计算只要用256减去这个值即可，计算机自己读数的话就是减一后再按位取反。

初学者还是需要多练习思考。

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