线性方程组考研题(线性代数线性方程组知识点总结)

导语：考研线性代数——线性方程组

（tip：本文适用于梳理知识体系）

线性方程组包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。当方程组中方程的个数与未知数的个数相等且系数矩阵满秩时可以考虑克拉默法则，但当系数矩阵为降秩矩阵时，使用克拉默法则无法确定方程组的解（对齐次线性方程组来说，只知道其有非零解，但不能确定解的具体形式；对非齐次线性方程组来说，有无解都无法确定）.当方程组中方程的个数与未知数的个数不相等时，则一定不能使用克拉默法则，所以解方程组的主要方法为高斯消元法。

对齐次线性方程组AX＝0，当r(A)＝n（与未知数个数相等）时，方程组只有零解；当r(A)＝r＜n时，方程组AX＝0有无穷多个解，此时找出一组与其全体解向量构成的解空间等价的线性无关的解向量组（称为基础解系），则方程组AX＝0的通解为其基础解系的线性组合。

对非齐次线性方程组AX＝b，当r()≠r()时，方程组AX＝b无解；当r()＝r()时，方程组AX＝b一定有解。进一步分为r()＝r()＝n与r()＝r()＜n两种情况讨论其具体解的情况。

齐次线性方程组求基础解系在特征值与特征向量、矩阵的对角化、二次型的标准形中有非常重要的应用。

一、线性方程组的基本概念与表达形式

1.掌握n元齐次线性方程组的矩阵形式、向量形式

2.掌握n元非齐次线性方程组的矩阵形式、向量形式

3.掌握线性方程组的两个基本定理及推论

二、线性方程组解的结构

三、线性方程组的通解

1.掌握齐次线性方程组AX=0的基础解系与通解

2.掌握非齐次线性方程组AX=b的基础解系与通解

四、方程组解的理论延伸

1.设A是m x n矩阵，B是n x s矩阵，若AB=O，则B的列向量组为方程组AX=0的解。

2.设方程组AX=0的解为BX=0的解，则r(A)r(B)。

3.设方程组AX=0与BX=0为同解方程组，则r(A)=r(B)，反之不对。

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