一个小小的瓶子为何永远装不满水呢(一个瓶子装满了水就再也装不下别的了)

导语：一个小小的瓶子为何永远装不满水

神奇的克莱因瓶

有一个小小的瓶子，它永远装不满水，但是它却可以装满整个宇宙；

有一个小小的瓶子，你站在瓶子外面，其实你也是站在瓶子里面；

有一个小小的瓶子，它存在，却永远也造不出来；

公元1882年的一天，德国数学家菲利克斯·克莱因发现了这个神奇的瓶子——克莱因瓶。（其实最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fläche”是“克莱因平面”的意思，后来就慢慢误传成了“克莱因瓶”，不过“瓶子”这个词用起来也非常合适。）

克莱因瓶到底是什么？

其实克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。它是一个没有边界，不分内外的物体，表面永远没有终结，一只小虫子可以从瓶底沿着瓶面直接飞到外面，而不用穿过瓶体。按说瓶底那个洞就是外面，可是，从这个所谓外部的洞口倒水，就可以顺利地进入到所谓的内部，这就是克莱因瓶没有内外部之分的原因。

克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像，其实克莱因瓶就是三维空间的莫比乌斯环；如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环，公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现，把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质，这就是莫比乌斯环。莫比乌斯环就是二维空间的平面经过180度的旋转，和另一端连接起来，只能在三维空间中表现，而克莱因瓶就像三维空间的莫比乌斯环，只能在四维空间中表现。

莫比乌斯带

在我们三维的世界里，一张纸有两面，但是对于二维世界的生物来来说，它就平面里，没有两个面。

莫比乌斯环

就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶不可定向。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧几里德空间中嵌入，克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。

克莱因瓶常常会在谈论物理学的时候被提及，看起来这个概念是物理学概念。但事实上，它其实是一个数学概念。在数学领域当中，克莱因瓶的定义是：无定向性的平面。

菲利克斯·克莱因

莫比乌斯环和克莱因瓶为何有如此重要的意义？不仅在于它们在拓扑学方面的重要地位，甚至暗藏着宇宙的奥秘。

每个人都会好奇：宇宙的边界到底在哪里？

很多人认为，宇宙就是更高维度上的克莱因瓶。我们自以为在宇宙的内部，实际上也是在宇宙的外部。

事实是：克莱因瓶是一个只有在四维空间中才可能真正表现出来的曲面；所谓的“克莱因瓶”却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。

在拓扑学中，克莱因瓶定义为正方形区域 [0,1]×[0,1] 模掉等价关系(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。类似于 Mobius Band, 克莱因瓶不可定向。但 Mobius 带可嵌入 R^ 3，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间，从数学意义上解释了为什么在现实中无法造出克莱因瓶。

克莱因瓶

克莱因瓶促进了拓扑学的发展，甚至对物理也产生了一定的影响，比如时空克莱因瓶上的热力学，对于人类探索更高维度空间起到了重要的意义。

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