数学排列组合题型总结(经典排列组合问题100题)

导语：笔记-数学运算常考题型-排列组合问题

排列组合问题所涉及的知识内容众多，部分试题可依据固定的方法快速解决。同时，排列组合问题也是概率问题的解题基础，因此需要认真备考这类题型。

1.计数原理

加法原理：完成一件事情，需要划分几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事。当这种分类没有重复、没有遗漏时，完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和。

乘法原理：完成一件事情，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法刚好完成该步骤，所有步骤实施完毕刚好完成这件事，则完成这件事的方法总数等于每一个步骤的方法数之积。

加法原理中要求“没有重复，没有遗漏”;乘法原理中要求“步骤刚刚好”。在对复杂问题进行分类讨论、复杂事情分步完成的时候一定要注意这一点，才能保证计数的准确。

2.排列

排列指的是从n个不同元素中任取m个按照一定顺序排成一列，排列种数记作Amn。根据乘法原理，把整件事分成m步，挑第一个有n种选择，挑第二个有(n-1)种选择，以此类推可得：

Amn＝n(n-1)···(n-m+1)

如果直接对n个不同元素进行排列，就是Amn＝n(n-1)···3x2x1＝n!,称之为“全排列”。

3.组合

组合指的是从n个不同元素中取出m个元素作为一组，组合种数记作Cmn。与排列不同的是，组合只关注取出的是什么，不考虑取出的顺序。根据排列的计算方法，从n个不同元素中任取m个排成一列有Amn种情况，每组有Amm种排列，则组合数可列式如下：

Cmn＝Amn/Amm＝(n(n-1)···(n-m+1))/(m(m-71)···x1)

计算完成某件事的方法总数，关键是需判断事情是分类还是分步去做，分类用加法原理，分步用乘法原理。

需要积累的常考排列组合数有：

简化计算的一种方式：

Cmn＝C(n-m)n

在排列组合问题中，有些元素有特殊的位置限制，如指定某人站在某一位置或不能站在某一位置。可用优限法求解，先排特殊元素或者特殊位置，再排其他元素或位置。

排列组合问题中，有些元素要求必须相邻，可用捆绑法求解。分两步来完成，先将必须相邻的元素作为一个整体，与其他元素全排列，然后考虑捆绑元素之间的相对顺序。

利用捆绑法解题时，要注意考虑被捆绑元素内的排列顺序对事件是不是有影响。

排列组合问题中，指定元素不相邻，可用插空法求解。分两步来完成，先排除其他元素，再将不相邻的元素插入这些元素所形成的“空”中，“空的数量要数清楚。

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