与三角形有关的题目(与三角形有关的角题及答案)

导语：「中考复习」与三角形有关的综合题，怎样才能找到解题方法

认识自然，改造自然，顺应自然，服务人类是我们的目的，学习的目的是使我们的能力更强，更高。我们学生学习、解题，常常是记题、刷题，这是一种方法，但不是好的方法。学习需要掌握基本的理论知识;做题需要记住常见的类型、常见的方法、常见的模型，这很重要，也非常必要，但我们一定要灵活多变，切不可死搬硬套，知识点是固定的、机械的，但考题却是创新的，灵活的，这就要求我们富有灵活性、创新性，一个活字难倒了很多人，那么如何才能找到解题方法呢？下面通过例题说一说个人的浅见。

【题目呈现】

1.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC=BC=DC=4，AD=6，求BD的长.

【分析】此题虽然是已知四边形ABDC，但本质上是一个运用三角形知识可解决的问题，不知同学们看完题之后如何解答呢？

☞解决问题的方法应该是多种多样的，关键是如何去想，只有想不到，没有做不到。我所说的方法是:类比、联想，其实类比、联想是解决问题的通用方法，事物之间尽管各不相同，但总有相类似的地方，相类似的地方，往往呈现相类似的规律，那么解决一个问题的方法，有可能用在解决相类似的问题上，学习也是如此.

☞先总体分析题中的条件，由AC=BC=DC，我们想到三个等腰三角形，想到∠ABC=∠BAC，∠DAC=∠ADC，∠DBC=∠BDC;由AB∥CD，我们想到同旁内角互补，即∠ABD+∠BDC=180°，∠BAC+∠ACD=180°，想到内错角相等，即∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠ADC，这时，我们可得出∠BAD=∠DAC，也即AD平分∠BAC，这是我们依据条件得到的最初结论，也是同学们所能想到的，好像离问题很远，还需要同学们更深层次的联想，亲爱的同学们接下来又该如何联想呢？

方法一

上面我们提到AC=BC=DC，为了求出BD的长度，我们是否可构造一个包含BD边所在的直角三角形呢？(大脑搜索有关直角三角形的判定方法，当然不管怎样想，也离不开上面的条件，所以说，联想要有依据，否则便成为空想，幻想)，我们想到若延长BC到E，使CE=BC，连接DE，则△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，如图:

趁兴追击，这时BE=8，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=∠BAC，∠BAC+∠DCA=180°，又∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DCA，则不难证出△DCE≌△DCA，∴ED=AD=6，∴在Rt△BDE中，不难求出BD的长为2√7.(构造出一个新图形之后，与其他条件联系，推导出所求的问题).

方法二

上面分析提到AD平分∠BAC，这就要求我们联想与角平分线有关的知识，其中有一条:角平分线上的点到角两边的距离相等，(为什么用这一性质呢？为构直角算BD的长)，于是构造出下面的图形:

过D点作DM⊥AB交AB的延长线于M，作DN⊥AC交AC的延长线于N，则MD=ND，又AM=AN，这时离问题还是很远，注意到AC=BC，于是作CE⊥AB于E，则AE=BE，则出现了矩形MECD，∴ME=DC=4，又易证Rt△EAC≌Rt△CND，∴AE=CN=BE，到此我们又该如何往下进行呢？注意到有很多直角三角形，列方程的方法，方程的思想跃然纸上，设AE=CN=BE=x，则AN=AM=4+x，则DN²=CD²一CN²=4一x²=MD²，AD²=AM²+MD²，即6²=(4+x)²+4一x²，解得x=1/2，则DN²=MD²=63/4，BM=AM一AB=9/2一1=7/2，BM²=49/4，在Rt△BMD中，可求得BD=2√7.

方法三

上面提到三个等腰三角形，我们想到三线合一的性质，能否用此性质解本题呢？试试看吧。过点C作CN⊥AD于N，过点C作CM⊥AB于M，连接MN，如图:

则M、N，分别是AB，AD的中点，MN就为△ABD的中位线，则BD=2MN，于是问题的重点转在求线段MN上，似乎求MN的长度更难，这时我们只知道AN=AD/2=3，AC=4，可求得NC=√7，BC的长度又用不上，陷入"山重水复疑无路”的困境，冷静！冷静！回归条件，仔细甄别，忽然想到AD平分∠BAC，于是想到"角分垂，等腰归“，也即角平分线+垂线→等腰三角形，于是延长CN，延长AM交于点E，则可得到△AEC为等腰三角形，AE=AC，单独分离出来得到下图:

接下来又如何做呢？注意到△ANE∽△CME，∴EN/EM=AE/EC，又∠AEC=∠NEM，∴可得△ENM∽△EAC，∴EN/EA=MN/AC，而EA=AC，∴EN=MN=NC=√7，那么BD=2MN=2√7.

另外，由△ENM∽△EAC，可得到∠EMN=∠ACE，而∠ACE=∠E，∴∠EMN=∠E，∴MN=EN=NC=√7，则BD=2√7.

或者由AN⊥CN，CM⊥AE，可得A，C，N，M四点共圆，用样可得∠EMN=∠ACE，以下证法同上，不再叙述.

方法四

我知道上文提到三个等腰三角形，能否找BD的中点M，AD的中点N，求出线段BD的长呢？试着分析一下，如图:

则MN为△ABD的中位线，MN∥AB∥CD，∴∠MND=∠NDC，易知CN⊥AD，CM⊥BD，易得出C，D，M，N四点共圆，∴∠MND=∠MCD，∴∠NDC=∠MCD，加上∠CND=∠CMD=90°，又CD做公共边，可推出△NCD≌△MDC，∴MD=NC=√7，则BD=2√7.如图:

通过上面的解法看出，类比，联想的方法，紧扣知识点之间的联系，同时又灵活多变，真正能提升我们学习的创新性，丰富我们的核心素养，提高我们的解题能力，为今后的学习，工作奠定了，活学活用，具体问题具体分析的好习惯。

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