导数在研究函数中的应用教案(导数在研究函数中的应用知识点)

导语：导数在研究函数中的应用

研究一个函数，就是研究这个函数的性质和其图象的特点。函数的重要性质主要涉及到函数的单调性、奇偶性、对称性、最值、极值、极值点、零点、定义域、值域、切线、渐近线等。

导数作为研究函数的重要工具，主要用来帮助研究函数的单调性、极值、最值、切线、寻找与x轴垂直的渐近线、以及结合导数值的正负画出函数的大致图象。下面分别简单加以介绍。

第一，研究可导函数的单调性。

如果一个函数可导，则在某个区间上根据导数值的正负大致有以下几种情况。

1.导数值恒大于等于零（导数值等于零的点的个数有限）。此时，原函数在这个区间上是严格递增的函数。

2.导数值恒小于等于零（导数值等于零的点的个数有限）。此时，原函数在这个区间上是严格递减的函数。

3.导函数值恒为零。此时，原函数在这个区间上是一个常函数。

第二，研究可导函数的极值。

函数的极值不同于函数的最值，它刻画一个函数在函数局部（两端点和间断点除外）上的性质。

1.如果函数在局部某个点P的左侧导数值大于0，右侧导数值小于0，则原函数在点P附近“左增右减”，则函数图象在点P附近最高，点P处对应的函数值即为函数极大值，同时把点P的横坐标称为函数的一个极大值点。

2.如果函数在局部某个点P的左侧导数值小于0，右侧导数值大于0，则原函数在点P附近“左减右增”，则函数图象在点P附近最高，点P处对应的函数值即为函数极大值，同时把点P的横坐标称为函数的一个极大值点。

第三，研究可导函数的最值和值域。

求函数的值域离不开求函数的最值，而可导函数的最值和极值间有着密切的联系。函数极值与函数最值的区别和联系主要有以下几点。

1.如果一个函数可导，则函数的极值不一定是函数的最值，函数的最值也不一定是函数的极值。

2.可导函数的最值往往在这个函数的所有极值和端点处的函数中取得。

3.如果一个可导函数的最值在其定义域的内部取得（不在端点和间断点处取得），则此时的函数的最值也一定是函数的一个极值。

正是基于以上的事实，所以我们在求一个可导函数的最值时，只需要求出这个可导函数在区间端点处函数值、间断点处函数值、所有的极值，然后把它们比较大小，它们中的最大值就是这个函数的最大值，它们中的最小值就是这个函数的最小值。

第四，研究可导函数的切线。

求可导函数的切线方程往往需要求出这条切线的斜率。可导函数的导数值与切线斜率的关系就是，可导函数在切点处的导数值就等于在这个切点处的切线的斜率值。所以，求切线的斜率时，只要先求出原函数的导函数，然后再求出导函数在切点处对应的导数值即可。

第五，研究可导函数的渐近线。

直接用导数工具求函数的渐近线，主要是求渐近线与坐标系中的x轴垂直的渐近线。因为这类渐近线的斜率不存在，对应的导函数值在此处取到“无穷大”（正无穷大或负无穷大）。

基于上面这个原理，在不知道函数图象的前提下求其类渐近线时，可以在求出其导函数后，找导函数值为无穷大的点。

第六，结合导数值的正负画出函数的大致图象

求出一个函数的定义域后，以函数的导数为工具，找出函数的极值点、零点、端点后，结合导数的正负判断出函数的单调区间，然后用光滑曲线（一次函数除外）连结各点后得到函数的大致图象。

结合导数作图的功能非常强大，它可以帮我们画出很多常见的基本函数之外的函数图象。

结语

导数作为研究函数性质的一个简单、快捷的工具，在研究函数的过程中起着非常重要的作用，有时甚至是不可替代的作用。

想要用好“导数”这个研究函数的重要工具，一方面，要从本质上理解导函数与原函数的关系、导函数的几何意义（切线斜率）等。另一方面，一定要准确、熟练地掌握求一个函数的导函数的重要公式和运算法则。

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