问题 设D为一平面区域，L为不穿过D内部的共面直线，求D绕L旋转一周所成旋转体的体积。

结论 由连续曲线y=f(x)，其中f(x)≥0，以及直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形D绕不穿过曲边梯形内部的共面直线L：Ax+By+C=0旋转一周所成的旋转体的体积为：

证明 曲边梯形D上任取一点P(x,y)，则x,y的变化范围为0≤y≤f(x)；a≤x≤b.点P(x,y)到L的距离

在点P(x,y)处分别给出x,y的微分dx,dy，得曲边梯形上的面积微元dσ，且知dσ=dxdy。面积为dσ的面积微元绕L旋转所形成的立体体积微元

所以有

几种特殊情形

(1) D: g(x)<y<f(x), a<x<b时

(2) D: u(y)<x<v(y), c<y<d时

(3) D: r1(q)<r<r2(q), a<q<b时

(4) D: 0<y<f(x), a<x<b, 且L为y轴时

(5) D: 0<r<r(q), a<q<b, 且L为x轴或极轴时

(6) D: 0<y<f(x), a<x<b, 且L为x轴时

例子

1. 求椭圆x2+2y2=1绕直线x+y=2旋转一周所成旋转体的体积。

解 平面区域D可表示为：

区域D与直线x+y=2的位置关系如下图：

对区域D内任意点都有：x + y –2<0，所以

2. 求心形线r=4(1+cosθ)及射线θ=0及θ=π/2所围成的图形绕极轴旋转一周所成旋转体的体积.

解 区域D为：

0<r<4(1+cos θ), 0<θ<π/2

对D内任意点都有y>0，所以有

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