勾股定理翻折问题(勾股翻折题)

导语：初二学生必会——勾股定理的应用——翻折问题

前面我们已经总结了勾股定理的相关知识点，今天开始整理勾股定理的应用。应用包含两个部分，一个是几何应用（主要包含翻折问题和最短路径问题），一个是实际应用。不论是哪种应用，都是在前面知识点的基础上进行变形应用，今天主要来整理翻折问题。

首先，折叠的背景大部分是矩形，少数是其他图形。本文主要梳理矩形背景下面的做题方法。

如下图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD进行翻折，使点C与点A重合，折痕为EF。AB=4，AD=8，求BE的长度。以此为例，我们分析：

分析：

1、翻折前后的图形全等，则对应边相等，对应角相等；

FD=FG，CD=AG，AF=CF，EC=EA;

∠AGF=∠CDF=90°，∠DCE=∠GAE，∠GAF=∠DCF，∠FEA=∠FEC。

2、折痕即角平分线，在矩形背景下存在平行线，则会出现等腰三角形；

▲AEF为等腰三角形，且AE=AF。

3、折痕垂直平分对应点的连线（可联想等面积法）

EF垂直平分AC，四边形AECF为菱形。

4、长度计算——勾股定理登场。

具体操作：参与翻折的图形不参与计算（此处指应用勾股定理的运算），寻找“角落”三角形进行运算，若已知两边，直接求解；若知道一边及其他两边的关系，使用勾股定理的方程思想求解。

例题中的“角落”三角形是ABE，已知AB=4，由菱形AECF可知，AE=EC，由矩形可知BC=AD=8，所以AE+BE=8，属于第二种情况，需要设未知数来进行求解。

求啥设啥原则，设BE=x，则AE=8-x，在直角三角形ABE中，使用勾股定理列出方程：

x²+4²=（8-x）²，解得x=3.

tips：在选择和填空题中，我们遇到直角三角形中有4时，可优先猜勾股数3，4，5进行求解，但是切记带回原题进行验证哦。此为投机取巧之法，大家慎重使用。

后面给大家匹配几道练习题，大家可以参考上面的分析方法自己尝试练习哦。

以上是关于勾股定理在翻折问题中的应用，在初三时我们会在这个基础上继续延伸更多的知识点，比如相似、三角函数等。大家一定要做好巩固，为后面的学习打好基础。

【备注】

练习题答案：

1、10 2、1.75 3、6 4、6

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