点的坐标求三角形面积(坐标系中三点的面积)

导语：点的坐标 三角形面积的变化，均缘于此：矩形的旋转 解读精练题32

H32.在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0,0）， 点 A（5,0），点 B（0,3）， 以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别为 D，E，F.（1）如图 1，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标；（2）如图 2，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H.①求证：△ADB≌△AOB；②求点 H 的坐标；（3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）

解读：

（1）看图，得点C（5，3），当点D落在BC边上时，其纵坐标为3，设点的横坐标为x（x>0），则BD=x，在Rt△ACD中，DC=5-x，AC=3，AD=5，由勾股定理得，DC=5-x=4，所以x=1，因而点D（1，3）；

（2）当点 D 落在线段 BE 上时，由矩形ADEF，得AD⊥BE，

①∠ADB=∠O=90°，AD=AO，AD=AD，由SAS得，△ADB≌△AOB；

②由△ADB≌△AOB得，BD=OB=AC=3，∠ADB=∠C=90°，∠BHD=∠AHC，

由AAS得，△HDB≌△HCA，设BH=AH=x，则HC=DH=5-x，AC=BD=3，由勾股定理得，

x^2-（5-x）^2=3^2，解得x=17/5，所以点H（17/5，3）；

（3）当点D在对角线BA上时，△KDE 的面积最小，

由勾股定理得AB=√34，且AD=5，

则BD=√34-5，

DK=BK-BD=1/2AB-BD=（10-√34）/2,

所以△KDE 的面积S=DE×DK/2=（30-3√34）/4，

当点D在对角线BA的延长线上时，△KDE 的面积最大，

由勾股定理得AB=√34，且AD=5，

则BD=√34-5，

DK=AK+AD=1/2AB+BD=（10+√34）/2,

所以△KDE 的面积S=DE×DK/2=（30+3√34）/4，

所以△KDE 的面积S的范围：

（30-3√34）/4 ≤S≤（30+3√34）/4，

约为：3.13≤S≤11.87。

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