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立体几何小技巧(立体几何方法清单)

导语:这些立体几何的方法技巧,收好,实用提分策略

空间几何体的表面积和体积相关的问题一直是高中数学的重要内容,如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,一般多采用面积累加的方式求解,特别地,若为正棱柱(锥、台),各侧面积相等,可用乘法计算;计算其体积时,关键是求底面积和高。

如何正确求出几何体的侧面积和全面积,关键要对知识有本质上的认识,如几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行。

应掌握平面基本性质、空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念。同时,要能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定,进行论证和解决有关问题。

立体几何有关的高考试题分析,典型例题1:

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且有PB=PD,PA⊥BD.

(1)求证:平面PAC⊥平面ABCD;

(2)若∠DAB=∠PDB=60°,AD=2,PA=3,求四棱锥P﹣ABCD的体积.

考点分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

题干分析:

(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,由PB=PD,得PO⊥BD,再由已知PA⊥BD,利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC,进一步得到平面PAC⊥平面ABCD;

(2)由(1)知,平面PAC⊥平面ABCD,可得BD⊥AC,则AB=AD,得到四边形ABCD为菱形,然后求解三角形可得△POA的面积,再由等积法求得四棱锥P﹣ABCD的体积.

立体几何有关的高考试题分析,典型例题2:

如图,已知三棱锥P﹣ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABC,D、E、F分别是AB、PB、PC的中点.

(Ⅰ)证明:PD⊥平面ABC;

(Ⅱ)若M为BC中点,且PM⊥平面EFD,求三棱锥P﹣ABC的体积.

考点分析:

棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.

题干分析:

(Ⅰ)由PA=PB,D为AB中点,可得PD⊥AB,再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC;

(Ⅱ)设PM交EF于N,连接DM,DN,由线面垂直的性质得到PM⊥DN,由已知可得DN垂直平分PM,故PD=DM,求出DM,进一步求得PD.即三棱锥P﹣ABC的高,然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积.

立体几何有关的高考试题分析,典型例题3:

如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.

(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;

(Ⅱ)若AD=1,AB=√2,求二面角B﹣AD﹣E的大小.

考点分析:

二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

题干分析:

(Ⅰ) 只需证明DC⊥AB,由AD⊥AB,DC∩AD=D,得AB⊥平面ADC

(Ⅱ) 易得∴CD=√6,建立空间直角坐标D﹣xyz,则D(0,0,0),B(√3,0,0),C(0,√6,0),E(√3/2,√6/2,0),A(√3/3,0.√6/3),求出平面DAB的法向量,平面ADE的法向量,求得二面角B﹣AD﹣E的大小为60°。

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