算术公理系统(什么叫数学公理)

导语：数学科学的起点：公理化体系——算术公理体系

从时间上来说，代数方面的公理化来得比几何的要晚一些，当属自然数的序数理论。下面我们要介绍的是意大利数学家皮亚诺的具有历史意义的工作。

皮亚诺是19世纪末20世纪初最伟大的数学家之一，他在几何、数理逻辑、微积分、微分方程、积分方程等许多数学领域都有很深刻的研究，但最著名的工作还是建立以他的名字命名的自然数公理体系。

1889年皮亚诺的名著《算术原理新方法》出版，书中他完成了对整数的公理化处理，使得这本小册子成为经典之作。他在其中做了最重要的两件事:第一，把算术明显地建立在几条公理之上;第二，公理都用新的符号来表达。1891年皮亚诺创建了《数学杂志》，他在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，并且证明了它们的独立性。

皮亚诺用两个不定义的概念“1”和“后继者”及四个公理来定义自然数，用他的说法，所谓自然数是指满足以下性质的集合N中的元素:

(1)1是N的一个元，它不是N中任意元的后继者，若a的后继

者用a+表示，则对于N中任何a，a+≠1;

(2)对于N中任意元a，有且仅有一个后继者a+;

(3)对于N中任意a，b，若a+=b+，则a=b;

(4)(归纳公理)对于N的一个子集合M，若具有以下性质:

1 属于M,当a属于M时，有a+也属于M，则M属于N。

归纳公理有以下等价形式：若任意命题对1得到证明，更假定它对于小于自然数n的一切自然数k均为真，从而推出它对于n也为真，则该命题对于所有自然数都为真。这实际上就是我们熟悉的数学归纳法原理。

算术的基本概念和逻辑推论法则深刻反映了我们周围世界的客观规律性，同时也构成了数学其他分支的最坚实的基础。

皮亚诺在其他领域中也使用了公理化的方法。他期望能将他的数理逻辑的概念应用于数学各分支的所有已知结果，试图从他的逻辑记号的若干基本公理出发建立整个数学体系。他使数学家的观点发生了深刻变化，对布尔巴基学派产生了很大影响。

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