二元一次不等式的线性规划(二元一次不等式组与简单的线性规划问题知识点总结)

导语：学会运用二元一次不等式解决高考热点：线性规划问题

什么是线性规划问题？

定义目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，就统称为线性规划问题。

线性规划的问题应用比较广泛，题目非常灵活,常和其他知识交叉融合让学生进行求解,所以对学生的学习能力是一次考验。因此，线性规划问题也成为高考数学一个热点和“分值增长点”。

高考数学考查线性规划类问题，主要基于课本上的基础知识内容，同时又高于课本的知识难度，蕴含大量的数学思想方法，如数形结合思想等等。加上线性规划问题能与实际生活问题进行良好结合，能很好考查考生运用知识解决实际问题能力水平的高低，所以线性规划问题在高考中的分值越来越大,逐渐受到更多的重视。

总体来说运用二元一次不等式相关知识来解决线性规划问题，难度不大，只要认真学习，都能拿到相应的分数。下面，我们就一起从高中数学中的线性规划问题入手，对高中数学中有关线性规划的问题做一个综合学习，针对其中的具体问题逐一做具体分析，总结学习方法，希望能帮助到打击的学习。

首先要掌握好线性规划中相关的基本概念：

1、约束条件：由变量x，y组成的不等式(组)

2、线性约束条件：由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)

3、目标函数：关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等

4、线性目标函数：关于x，y的一次解析式

5、可行解：满足线性约束条件的解(x，y)

6、可行域：所有可行解组成的集合

7、最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解

8、线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

典型例题分析1：

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)

A．1 800元　 B．2 400元

C．2 800元 D．3 100元

解：设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，

相应的利润为z元，

平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．[答案]　C

线性规划本质上是解决最大值或最小值问题，而最值问题恰恰是现实生活当中遇到的问题，也就是我们常说的最优解问题。

如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。

特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个。

典型例题分析2：

解决线性规划问题，我们一定要抓住函数的本质，如求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义。

常见的目标函数有：

1、截距型：形如z＝ax＋by.

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ax/b＋z/b，通过求直线的截距bz的最值间接求出z的最值．

2、距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.

(3)斜率型：形如z＝（y-b）/（x-a）.

注意：转化的等价性及几何意义.

同时，大家更要记住的是与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：

1、设未知数，确定线性约束条件及目标函数；

2、转化为线性规划模型；

3、解该线性规划问题，求出最优解；

4、调整最优解．

典型例题分析3：

某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，

所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)

＝2x＋3y＋300.

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