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数学的乐趣一题多解一道简单的题连起几道题(数学一题多解的好处)
导语:数学的乐趣,一题多解,一道简单的题连起几个知识点,柯西不等式
数学的魅力,也是学数学的乐趣,一题多解,一道简单的题把几个知识点联系起来,好像条条大道通罗马的感觉,又把几个知识点都复习了。
顺带的,学个柯西不等式。
如题:
已知x﹢2y=1,求x²﹢y²的最小值。
很简单的高中数学题
先不看下面的解法,思考下,自己能不能解?
解法一:求二次函数的最值,初中数学。
依题,x=1﹣2y,代入,
x²﹢y²=(1﹣2y)²﹢y²=5y²﹣4y﹢1=5(y-2/5)²﹢1/5,
所以,当y=2/5,x=1/5时,
x²﹢y²有最小值1/5。
二次函数的最值
解法二,数形结合。
在平面坐标里,方程x﹢2y=1表示一条直线,
则P(x,y)为直线上的任意一点,原点O(0,0),
P点与原点O之间的距离为d,
则d²=x²﹢y²,
OP垂直直线时,OP长度最小,
根据几何知识,容易求得最小距离,d=√5/5,
所以x²﹢y²最小值为1/5,此时x=1/5,y=2/5。
最小距离
数形结合
解法三,柯西不等式,
根据柯西不等式,
(1²﹢2²)(x²﹢y²)≥(1x﹢2y)²,
x﹢2y=1,
即,5(x²﹢y²)≥1,
x²﹢y²≥1/5,
当且仅当1y=2x时,等号成立,
即x=1/5,y=2/5时,
x²﹢y²取最小值1/5。
柯西不等式
(二维形式的柯西不等式)
若a,b,c,d都是实数,则
(a²﹢b²)(c²﹢d²)≥(ac﹢bd)²,
当且仅当ad=bc时,等号成立。
二维形式的柯西不等式
利用向量来证明柯西不等式,
柯西不等式的证明
把二维形式的柯西不等式推广,得一般形式的柯西不等式,
(一般形式的柯西不等式)
一般形式的柯西不等式
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