直言三段论的例子(判断直言三段论有效性的规则)

导语：具有传递关系的推理---直言三段论的本质

我们已经很清楚。直言三段论蕴涵的推理模式是：由大前提A→P的定义得到结论x→P；或者，由大前提A～P的定义得到结论x～P；其中由条件到结论的过渡都是x∈A。在同一律的原则下，这个推理模式是无懈可击的，因为根据同一律原则，我们能够清晰地判断元素x∈A是否成立。这样，为了分析直言三段论的本质，只需要分析集合A与命题P之间的关系。

对应于《基本推理的基础---推理的对象：命题》中的讨论，用大写希腊字母Ω表示满足命题P的所有元素构成的类，正像我们曾经讨论过的那样，这个类可以是比较模糊的，也就是说，这个类并不要求满足同一律。比如，对于《具有传递关系的推理---直言三段论》中(1)式所示的全称肯定型中亚里士多德给出的例子，用集合A表示“所有的人”，用Ω表示命题项的述说：所有“有死”的那些东西，那么类Ω就是比较模糊的，因为很难定义什么叫做“有死”的东西。但是，在论证的过程中有两点必须是非常清楚的，集合A是明确的，并且类Ω包括集合A也是明确的，即所有“有死”的那些东西包括了“所有的人”，这样，整个三段论就形成了一个清晰的包含关系，比如，直言三段论的全称肯定型就可以表示为：

x∈A⊆Ω (1)

因为包含关系是具有传递性的，这样得到x∈Q的结论显然是合理的。可以看到，在推理的过程中，包含关系的可传递性起到了关键作用。表面上，我们在述说全称肯定型的直言三段论，事实上，我们在述说一种可传递的包含关系。

对于全称否定型，问题要复杂一些。比如，用Ω表示《直言三段论》(2)式中所有“有理性”的那些东西所构成的类，用Ω的补ΩC表示不属于Ω的所有元素构成的类，即所有“没有理性”的那些东两所构成的类，那么判断A～P就等价于判断包含父系A⊆ΩC，如果用语言表述，

则判断命题“没有一条鱼是有理性的”等价于判断命题“所有的鱼都属于没有理性的”。因为大前提要求A∈ΩC，这等价于要求集合A与命题集合Ω没有公共的元素，即交集合A∩Ω是空集合，通常表示为A∩Ω= Ø，并且称 Ø为空集合。这样，全称否定型的三段论模式可以表示为：

x∈A⊆ΩC (2)

这依然是一个包含关系，闶此结论x∈ΩC是合理的。用类似的方法，我们可以对特称肯定型和特称否定型得到同样的结论。

通过上面的讨论，我们就可以利用集合的语言对直言三段论表述如下：直言三段论表述的是集合之间的包含关系，这种关系具有传递性，我想，其中关于“包含关系具有传递性”这个命题，应当是人们在长期的日常生活和生产实践中总结出来的公理，我相信，人们从远古的时候就会知道：一个人属于家庭，家庭属于族群，那么，这个人属于族群。这个命题的正确性是不需要证明的，并且，“具有传递性”这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础。

我们曾经讨论过，在直言三段论论证式中可以用子集合B代替元素x，只要保证包含关系B⊆A成立，那么推理的结论成立。比如，对于全称肯定型，我们考虑下面的推断：

凡数都可以比较大小。整数是数。所以整数可以比较大小。

如果用A表示“所有的数字”，用B表示“所有的整数”，用Ω表示“所有能够比较大小的东西”，那么这个推理可以表示为关系式：

B⊆A⊆Ω

从包含关系的传递性知道，这个结论成立是必然的。

这样，我们就得到了下面的命题：凡是可以构成直言三段论的论述，对应的集合之间存在传递关系。如果这个命题是正确的，我们在数学的教学过程中就比较容易把握数学论证的本质了。事实上，如果命题之间不具有传递性，是不能进行逻辑论证的。我们分析下面的推理：

所有三角形的内角和都是180度。平角不是三角形。所以平角不是180度。

从表面看这是一个三段论的推理模式，可是这个推理结论显然是错误的，那么，这个推理的逻辑错误在什么地方呢？问题就在于这个命题中条件集合和结论集合之间不存在包含关系。因而不存在传递性，我们来仔细分析这个问题。

我们用A表示所有三角形，用Ω表示所有角度为180度的那些东西，用x表示平角。在这些定义下，上述大前提说的是A⊆Ω，小前提说的是x∈AC，结论是x∈ΩC。由《推理的对象：命题》中(7)的关系式可以知道，大前提A⊆Ω等价于ΩC⊆AC，这样，在上面的推理过程中小前提与结论之间就颠倒了，这样的推理是不满足传递性的，因此并没有形成直言三段论。事实上，在所述说的大前提下，如果要形成直言三段论，那么小前提只能是x∈ΩC而不能是x∈AC，因为只有这样才可能符合包含关系，才可能具有传递性。因此可以断言，不具有传递性的命题之间不能进行逻辑推理。

同样的道理，如果要利用上面那些符号讨论否命题，满足传递性的推理模式应当是这样的：

A⊆Ω

x∈ΩC

／x∈AC

可以看到，这种推理得到的结论是必然的，因为整个推理可以缩减为x∈ΩC⊆AC，这种关系是具有传递性的。但也可以看到，这种模式的推理要比传统的直言三段论的推理模式更为复杂，因为需要把其中的大前提进行转换，即把A⊆Ω等价地转换为ΩC⊆AC。容易看到，转换后的模式就类似于全称否定型的直言三段论(2)式，但要更复杂·些，因为这时的逻辑顺序为：正、反、反。下面的例子是符合这个推理模式的：

所有三角形的内角和都是180度，这个多边形的内角和不是180度，所以这个多边形不是三角形。

如果用x表示这个多边形，用A表示所有三角形，用Ω表示所有角度为180度的那些东西，那么，这个命题正是推理模式：x∈ΩC⊆AC，而其中后一个包含关系来源于另一个基本推理：

因为A⊆Ω和《推理的对象：命题》中(7)式，所以ΩC⊆AC

正如我们在讨论特称否定型时说的那样，上面的推理形式对于否定一个命题是非常有力的。再比如，我们要得到“以有理数为系数的一元二次方程的解可能为虚数”这个命题，如果把方程表示为ax2+bx+c=0，我们知道判别式b2 +4ac是非常重要的，希望得到的结论可以用下面的论证形式：

根为实数的有理系数一元二次方程的判别式不小于零。有些有理数使得判别式小于零。所以有些有理系数一元二次方程的根不是实数。 (3)

这样，通过一元二次方程的根就确定了虚数的存在性。

通过正反两个方面的讨论，我们已经得到结论：直言三段论的本质是命题的可传递性，或者说，命题所对应的集合之间可以形成包含关系，虽然直言三段论推理的形式是可以多种多样的，但其本质可传递性是不能变的，反之，只要把握了传递性就把握了直言三段论推理。

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