三角形重心有什么结论(三角形重心问题)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚三角形重心的两个重要拓展结论的相关问题？那么关于三角形重心有什么结论的答案我来给大家详细解答下。

1.三角形重心坐标为三个顶点坐标的平均值，即在△ABC中，A、B、C的坐标分别为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形的重心坐标为

这个定理的证明在平面直角坐标系中是比较容易的。

D是BC中点，因此D的坐标可以计算出。

然后根据AO：DO=2：1，即可以计算出O点的坐标。

2.三角形重心到三个顶点距离的平方和最小

在△ABC中，P是三角形内一点，求证：当P是三角形重心时，PA²+ PB²+PC² 取得最小值。

谈到距离平方之间关系的证明，初中数学较少遇见这类问题。使用高中解析几何中的两点间距离公式比较容易解决，因为两点间距离的平方表达式中已经去掉了根号。

设A、B、C的坐标分别为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），设P的坐标为（x，y），由两点间距离公式知：

|PA|²=（x- x₁）²+（y-y₁）²

|PB|²=（x- x₂）²+（y-y₂）²

|PC|²=（x- x₃）²+（y- y₃）²

因此|PA|²+|PB|²+|PC|²

=（x- x₁）²+（y-y₁）²+（x- x₂）²+（y-y₂）²+（x- x₃）²+（y- y₃）²

= 3x² - 2x（x₁+ x₂+ x₃）+（x₁²+ x₂²+ x₃²）

+3y² -2y（y₁+ y₂+ y₃）+（y₁²+ y₂²+ y₃²）

因为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）都是定值，且x和y独立，因此求这个式子的最大值，只需要分别求

3x²-2x（x₁+ x₂+x₃）

3y²-2y（y₁+ y₂+y₃）

这两个式子的最大值即可。

容易看出，这是两个分别以x和y作为参数的朝上开口的抛物线。

抛物线y=ax²+bx+c在x取对称轴坐标x=-b/2a时，取最小值。

即x=1/3 (x₁+ x₂+x₃)，y=1/3（y₁+ y₂+y₃）时，|PA|²+|PB|²+|PC|²最小。

这个点（x，y）即是三角形重心的坐标。

温馨提示：通过以上关于三角形重心的两个重要拓展结论内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。