利用三角形三边关系求值问题(利用三角形三边关系求值的条件)

导语：利用三角形三边关系求最值

求最值问题是中考试题中常考的题型，以前多数是利用最短路经或垂线段最短进行命题，而近年的中考试题中却是以三角形三边关系进行命题较多，下面略举几例。

例1、如图1,在△ABC中，BC=3，将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁，点P、Q分别是AB、A₁C₁的中点，PQ的最小值等于 ▲

图1

分析：如图2，取A₁B₁的中点M，连接PM，MQ

∵将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁ ∴ PM=5

∵ M、Q分别是A₁B₁,A₁C₁的中点 ∴ MQ=B₁C₁=1.5

∵ |PM-MQ|≤PQ≤PM+MQ

∴ 5-1.5≤PQ≤5+1.5

即 3.5≤PQ≤6.5

∴ PQ的最小值为3.5

图2

例2、如图3，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1．运动过程中，点D到点O的最大距离为 ▲

图3

分析：如图4，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，

图4

∵ ∠MON=90º ∴ △AOB是直角三角形 ∵ 点E是AB的中点

∴ OE=AE=AB=1

∵ 在等腰Rt△ADE中，DE=

又∵ OD≤OE+DE=

∴ OD的最大值为

例3、如图5，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E为边BC的中点，点H,G分别是边AB,CD 上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值是（ ）

A. B.

C. D.

图5

分析：如图6，在Rt△ABE中，

图6

过点G作GN⊥AB，垂足为N

∵∠GHN=∠AEB

∴△GNH∽△ABE

∴ ∴GH=

过点G、E分别作GM∥AE，EM∥AG，交点M

∴四边形AEMG是平行四边形

∴GM=AE=，AG=EM

∵AE⊥GH ∴GM⊥GH

∴HM=

∵HE+EM≥HM

∴HE+AG的最小值为

故选（B）

例4，如图7，已知△ABC中，AC=2，BC=4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，则CN的最大值是（　　）

A. B.

C. D.

图7

分析：如图，将△ACB绕点A逆时旋转90度得到△AC₁N

图8

则 AC=AC₁=2，BC=NC₁=4

∴ CC₁=

∵ NC≤NC₁+CC₁=4+

∴ CN的最大值为4+

故选（C）

例5、如图9,在△ABC中,AB=2,

∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是

BC的中点,直线m经过点D,

AE⊥m,BF⊥m,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为( )

A. B. C. D.

图9

分析：如图10，

过点A作AP⊥BC，垂足为P

图10

在R t△ABP中，AP=ABSin60°

=，在等腰R t△ACP中，

AC=AP=

过点C分别作CG⊥EF，CH⊥AE，垂足分别为G，H

则四边形CGHE为矩形

∴EH=CG ∵点D是BC的中点

∴△BDF≌△CDG

∴BF=CG ∴AE+BF=AE+EH

∵AH+HC≤AC ∴AH≤AC

∴AH的最大值为

即AE+AF的最大值为

故选（A）

归纳：例1、2、4都是一个动点到一个定点的线段长的最值，例3、5都是两个动点分别到两个定点的线段长的和的最值，它们都区别于最短路径问题，最短路径是定直线上的动点到直线外两定点的线段长之和。

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