巧解不定方程教案(如何解不定方程)
导语:巧解不定方程
考试通研究院宫再英老师
不定方程求解问题经常考到的3种形式,不定方程求个体,不定方程组求个体,不定方程组求整体。具体怎么求解,有以下几个例子。
1、不定方程求个体,首先考虑能否用数字特性解决问题,不能,直接代入排除。例1、设a,b均为正整数,且有不等式11a+7b=132成立,则a的值为?( )
A.6
B.4
C.3
D.5
解析:首先发现132是11的倍数,那么等式左边也一定是11的倍数,11a是11的倍数,则7b一定是11的倍数,b=11,22,33......代入 ,要想a是正整数,b=11, a=5,则本题选D。
2、不定方程组求个体,首先消元,减少未知数的个数,然后再考虑数字特性解题或者直接代入排除。例2、某学校组织一次教工接力比赛,共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工,为设计获得各级奖励的人数,制定两种方案:若一等奖每人发5件,二等奖每人发3件,三等奖每人发2件,刚好发完奖品;若一等奖每人发6件,二等奖每人发3件,三等奖每人发1件,也刚好发完奖品,则获得二等奖的教工有多少人?( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:设一、二、三等奖获奖者分别为x,y,z人,则根据题意列出方程可得,5x+3y+2z=25,6x+3y+1z=25。消元z,可得7x+3y=25。观察发现数字特性解决不了,直接代入排除,只有当y=6的时候,x为正整数,为1,故本题选A。
3、不定方程组求整体,利用赋“0”法,即令系数比较大的未知数为0,进行计算,不影响结果。例3、甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?( )
A.21元
B.11元
C.10元
D.17元
解析:设每只签字笔、圆珠笔以及铅笔的单价分别为x,y,z元,则3x+7y+z=32,4x+10y+z=43。利用赋“0”法,使系数比较大的y=0,解得,x=11,z=-1, 故本题所求为x+y+z=11+0-1=10,故本题选C。
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