三维空间中的量感(度量空间的意义)

导语：由三维空间衍生而来的数学空间——度量空间(距离空间)

对于一个空间来说，距离是用来描述空间当中任意两个元素之间位置关系的。如果一个空间没有距离，那么这个空间是毫无意义的。在数学里，空间不仅仅只是我们所认识的几何空间，还有由数字组成的空间、由函数组成的空间、由序列组成的空间等等其他空间。这些空间都是根据我们所处的三维空间衍生而来的。

空间中的距离也不是随便的，它必须满足3个条件：

①非负性，距离不能小于零；

②对称性，A,B是空间中的两个点,A到B的距离和B到A的距离是一样的；

③三角不等式，空间中的任意三个点A,B,C，A到B的距离小于等于A到C的距离加上B到C的距离之和。

距离空间(度量空间)的定义：

设X是一个非空集合，x,y是集合X中的任意两个元素，我们把x与y的距离记作：d(x,y)

如果d(x,y)满足一下条件：

①非负性：d(x,y)≥0,只有当x=y时等号才会成立；

②对称性：d(x,y)=d(y,x);

③三角不等式：x,y,z是集合X中的任意三个元素，d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)

那么，X是一个距离空间或者度量空间。

距离空间的例子：

①n维欧式空间(Rⁿ,d),其中d表示距离

Rⁿ={(ξ₁,ξ₂,…,ξₙ)｜ξᵢ是实数，i=1,2,…,n}

n为欧式空间中的距离为

n为欧式空间中的距离

②闭区间[a,b]上的连续函数组成的空间(C[a,b],d)

定义距离为

连续函数空间中的距离

③序列空间(s,d)

s={(ξ₁,ξ₂,…,ξₙ,…)｜ξᵢ是实数，i=1,2,…,n,…}

定义距离为

序列空间中的距离

④可测函数空间(M(x),d)

可测函数空间中的距离

⑤离散空间(D,d)

设D是任意一个非空集合，对于D中的任意两个元素x,y，满足下面这个式子

离散空间中的距离

则称d是D上的距离，D为离散空间。

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