交变电场例题(交变电场中的运动问题)

导语：求解交变偏转电场题

例题：如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为L＝2d，两金属板间加如图乙所示的电压（初始时上金属板带正电），其中U₀=16md²/qT²,一粒子源连续发射质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（初速度v₀＝4d/T，重力忽略不计），射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。

（1）求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间。

（2）在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间？

【解析】

（1）水平方向做匀速直线运动，t=L/v₀=T/2

（2）只要能飞出电场，时间长度一定为½T，加速度a=qU₀/md=16d/T²。

方法一：纯数学分析法

设加速度向下的时间为t，则加速度向上的时间为½T-t(因为总时间为½T，加速度向下或者向上只出现一次)，要从极板飞出，竖直位移要大于等于0而小于等于d，列式为

0≤½at²+[at·(½T-t)-½a(½T-t)²]≤d

取临界解得：舍去不合理值，

t≤¼T且t≥¼(2-√2)T，

进入时间为t₁≥½T-¼T=¼T，

t₂≤½T-¼(2-√2)T=¼√2T

结合两种情形向进行分析，进入时刻考虑到周期性，带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间的时刻T₀满足（¼＋n）T≤T₀≤（¼√2＋n）T（其中n＝0，l，2，…）

方法二：v-t图分析法

用竖直方向上的v-t图进行分析，取向向下为正方向，先不管从什么时刻进入的，都从0时刻进入开始分析，画出v-t图，如图所示，

若从0时刻进入，时长为½T，竖直向下的位移为2d，将打在下极板上，不合题意，进入时刻必须往后推移，将坐标系往右平移，进入时刻在¼T，面积恰好为d，计算过程为2×½a(¼T)²=d，则进入时刻为

t₁=¼T，如图所示，

接着往右平移坐标系一小段，注意时间长要保持½T，将会出现负面积，此时正面积还是大于负面积，总面积<d，能出电场，符合题意，如图所示，

继续向右平移坐标系，当负面积和正面积相等时，即竖直位移为零，也就是刚好从上极板右端飞出，

设加速度向下的时间为t，则加速度向上的时间为½T-t

2×½at²=½a（½T-2t）²

解得t=¼（2+2√2）T

则进入时刻t₂=½T-t，t₂=¼√2T

结合两种情形向进行分析，进入时刻考虑到周期性，带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间的时刻T₀满足（¼＋n）T≤T₀≤（¼√2＋n）T（其中n＝0，l，2，…）

方法三：轨迹图法

交变电场往往具有周期规律性，用画轨迹的方法关键是找到对称性。

0时刻进入的将打在下极板上，如图线①所示，不合题意，因此进入时刻必须推后，轨迹将会出现拐点，如图线②所示，直至恰好从下极板右端飞出，进入时刻继续推后，拐点往左移动，并且还会出现竖直速度为0的另一拐点（对称性），轨迹将往上偏移，直至恰好从上极板右端飞出。如图线③所示。

恰好从下极板右端飞出，速度水平且为v₀，由对称性，显然可知粒子在电场中运动时间为¼T，进入时刻为t₁=½T-¼T=¼T。

恰好从上极板右端飞出，在第一个半个周期内，设带电粒子在t₂时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，经过t时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过时间t，竖直分速度减为零，然后加速向上，经过时间½T-2t直到恰好从上金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图所示。

找到电场方向相反的两个对称时间，这样竖直速度就会为零。

从右端飞出，竖直位移为零

2×½at²=½a（½T-2t）²

解得t=¼（2+2√2）T

则t₂=½T-t=¼√2T

结合两种情形向进行分析，进入时刻考虑到周期性，带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间的时刻t满足（¼＋n）T≤T₀≤（√2/4＋n）T（其中n＝0，l，2，…）

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