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初中常用定理平面几何(几何定值是什么)

导语:初中几何定值问题:定平方和5例

初中几何定值问题:定平方和5例

题目1:如图, OA、OB是圆O任意两条半径,过B作BE丄OA于E,作0 P丄AB于P, 则定值0P²+ EP² 为(R²)。

解题思路:设圆O的半径为R。已知OP丄AB,故P为AB之中点,EP为Rt△BEA斜边上的中线,故EP = PB = PA。所以OP² + EP² = OP² +PB² = R²。

题目2:如图1,圆0的半径为R,AB、CD是圆0的任意两条弦且AB丄CD于M。

求证AB ²+(CM-DM)²为定值。

解题思路:图2,连接BO并延长交圆于E,连接AE,则∠EAB = 90°,EA // CD,四边形 AECD为等腰梯形,EC = AD。

作EF⊥CD,则四边形 AEFM为矩形,CF= DM(轴对称),EA = FM = CD-CF-DM = CM-DM。

根据钩股定理:EB² = AB² + EA²。

4 R² = AB² +(CM-DM)²。

故AB²+(CM-DM)²= 4 R²,为定值。

题目3:如图,点P是圆0直径AB上的任意一点,过点P的弦CD和AB相交成45°夹角。

求证PC²+PD²有定值。

解题思路:详见圆中与直径成45°的弦:AP ²+ BP ²=2R ²

题目4:如图1,已知等边△ABC内接于半径为1的圆0,P是圆0上任意一点,求证PA²+ PB² + PC²为定值。

解题思路:图2,作CD⊥BP交其延长线于D, ∠CPD = 60°。通过钩股定理得BC²= PB²+ PC²+ PB· PC。

2BC² = 2PB²+ 2PC²+ 2PB·PC…… ①

又根据托勒密定理得PA = PB + PC,

PA²= PB²+ PC² + 2PB·PC…… ②。

用①-②得2BC²-PA² = PB²+ PC²,

故PA² + PB²+ PC² = 2 BC²……③

又知圆内接正三角形的边长与半径R的关系为

边长= √3 R,代入③式则

PA² + PB² + PC²= 6。

(有关知识参考等边三角形外接圆的几个性质 等边三角形外接圆的几个性质 )

题目5:如图,内接于圆0的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于K,设圆的半径为R,求证 AK²+ BK² + CK²+ DK²是定值。

解题思路:应用知识点①对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形,其两组对边的平方和相等;②相交弦定理。

图2,过圆心分别作两条弦的垂线,垂足E、F分别是两弦的中点,连接OA(R),则

AK· C K = BK· DK…… ①

AE = 1 /2 AC = 1/2(AK + CK)…… ②

OE = FK = 1/2(DK-BK)…… ③

根据钩股定理得:

A0² = R² = AE² + OE² 。

将 ①②③式代入最后得:AK²+ BK² + CK² + DK² = 4 R²,为定值。

总结:以上圆的定值问题均与圆半径挂钩,虽然有些题目未提半径,但是我们知道圆半径是一个重要的固定的参数。

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